301. 任務安排2

阿新 • • 發佈：2022-12-08

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301. 任務安排2

有 \(N\) 個任務排成一個序列在一臺機器上等待執行，它們的順序不得改變。

機器會把這 \(N\) 個任務分成若干批，每一批包含連續的若干個任務。

從時刻 \(0\) 開始，任務被分批加工，執行第 \(i\) 個任務所需的時間是 \(T_i\)。

另外，在每批任務開始前，機器需要 \(S\) 的啟動時間，故執行一批任務所需的時間是啟動時間 \(S\) 加上每個任務所需時間之和。

一個任務執行後，將在機器中稍作等待，直至該批任務全部執行完畢。

也就是說，同一批任務將在同一時刻完成。

每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用係數 \(C_i\)。

請為機器規劃一個分組方案，使得總費用最小。

輸入格式

第一行包含整數 \(N\)。

第二行包含整數 \(S\)。

接下來 \(N\) 行每行有一對整數，分別為 \(T_i\) 和 \(C_i\)，表示第 \(i\) 個任務單獨完成所需的時間 \(T_i\) 及其費用係數 \(C_i\)。

輸出格式

輸出一個整數，表示最小總費用。

資料範圍

\(1 \le N \le 3 \times 10^5\),
\(1 \le T_i,C_i \le 512\),
\(0 \le S \le 512\)

輸入樣例：

輸出樣例：

解題思路

斜率優化dp

由 300. 任務安排1 得到的 dp 狀態表示：\(f[i]=min\{f[j]+sum[i]\times (w[i]-w[j])+s\times (w[n]-w[j]))\}=\{f[j]-(s+sum[i])\times w[j]+s\times w[n]+sum[i]\times w[i]\}\)

，即 \(f[j]=(s+sum[i])\times w[j]+f[i]-(s\times w[n]+sum[i]]\times w[i])\)，很容易發現，這裡有關 \(i\) 的變數都當作一個常量，將 \(f[j]\) 當作 \(y\)，\(w[j]\) 當作 \(x\)，\((s+sum[i])\) 當作斜率，\(f[i]-(s\times w[n]+sum[i]]\times w[i])\) 當作截距，則該方程即為二元一次方程，在座標系上對應一條直線，要使 \(f[i]\) 最小，由於 \(s\times w[n]+sum[i]\times w[i]\) 為定值，即使直線的截距最小，對於 \(j\)

，有 \(0\sim i-1\) 種取值，即形成的 \((x,y)\) 有 \(i\) 個點，同時，斜率固定為 \(s+sum[i]\)，要在固定的斜率下找到截距最小的一個點，可以發現，可能的點一定是是凸包的邊界，這裡斜率為正，則應該對應凸包的右下部分，\(\color{red}{假定求出來這樣的凸包，如果找到滿足要求的點？}\)可以發現，隨著 \(x\) 的增大，凸包的斜率也在增大，凸包上會有若干條直線，直觀上看，第一條斜率不小於當前直線斜率的直線的左端點即為滿足條件的點，找該點比較常見的演算法可以二分，但本題比較特殊，因為每次插入一個點時，該點的橫座標都是遞增的，可以列舉 \(i\) 的同時維護凸包，而且直線的斜率也是遞增的，凸包上的直線斜率也是遞增的，故可以雙指標找到這樣的點

時間複雜度：\(O(n)\)

程式碼

// Problem: 任務安排2
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/303/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=3e5+5;
int n,s,sum[N],w[N];
LL f[N];
int q[N],hh,tt;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d%d",&sum[i],&w[i]);
    	sum[i]+=sum[i-1];
    	w[i]+=w[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
		while(hh<tt&&f[q[hh+1]]-f[q[hh]]<=(LL)(s+sum[i])*(w[q[hh+1]]-w[q[hh]]))hh++;;
		int j=q[hh];
		f[i]=f[j]-(LL)w[j]*(s+sum[i])+(LL)s*w[n]+(LL)sum[i]*w[i];
		while(hh<tt&&(__int128)(f[q[tt]]-f[q[tt-1]])*(w[i]-w[q[tt]])>=(__int128)(f[i]-f[q[tt]])*(w[q[tt]]-w[q[tt-1]]))tt--;
		q[++tt]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}

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