K. Hemose on the Tree

題意：給定有2的次冪個結點的樹，試給每個節點和每條邊賦一權值，使得對於從某指定根節點出發，到任意一結點的簡單路徑上權值異或和最大值最小。要求權值取遍[1, 2n-1].

解：有兩個需要確定的東西：根節點、最大權值異或和，以及如何取遍[1, 2n-1]. 根據異或的性質可以感受到根節點不太重要，那麼先確定最大權值。所有點取值範圍在二進位制下為[00001, 11111]這樣的形式，通過兩個良心樣例可以盲猜權值異或和的最大值最小為n。稍微思考一下，最高位的1是肯定會有一個的，如果讓它最小，顯然後面都是0，也就是取n最理想，而樣例證明了可以取到（沒有樣例，難度加倍）

L. Fair Share

題意：給出若干個長度為偶數的數列，問是否有一種方法，使得從每個陣列中取出一半陣列成新陣列L，剩餘部分組成新陣列R，且L與R的元素相同。

解：又是一個和2相關的構造題，上一個和2相關的題在兩兩分組，這個題雖然不能這麼做，但也像是亂搞一番後再分配L和R。看到L和R有一種連邊的衝動，但直接和L或者R相連不能保證從每個陣列中剛好取一半。試圖給每個數和陣列編號連邊，即，如果陣列a包含2和3，那麼a和2，a和3各連一條邊。那出現兩個2怎麼辦呢。考慮連邊的意義，我們需要每個陣列有一半是出邊，那還有一半肯定得是入邊。重新理解一下入邊，即最終形成的陣列有一個元素來自a。那出現兩個相同的數就連兩條邊。最後發現，可以將出邊分配給L，入邊分配給R，構造一個歐拉回路，各種意義上都符合題意，但又有點講不清的感覺，很神祕。

M. Circular Spanning Tree

題意：給出一個01串，將這個串按順時針排成一個圈，每個0/1代表一個點。要求拿這n個點構成一棵樹，有0的點度數為偶數，1的點度數為奇數。給出連邊方案，其中每條邊都為直線，且兩兩不相交。

解：拿樣例開始畫，發現應該用0和1的奇偶性構造。這樣一共有4種可能，每種分類討論一下可能能出，但可以預見還要討論1和2的特殊情況，一個構造題做成這樣八成是錯了。首先全是0的情況排除，全是1只能有偶數個1，突然想起來離散數學好像學過一棵樹只能有偶數個奇數度的結點，很快樂。為了減少分類討論拿一個1作根，然後把0串起來，剩下奇數個1接到0上剛好，但邊會交叉，煩。考慮給1接相鄰的0，最後把0串起來，那還是要討論接奇數個1還是偶數個1。再次分析，首先0是肯定要串起來接到根節點上的，剩下的1肯定是要當葉子結點的。把相鄰的0串起來，最後接一個1，分成好幾段接到根節點上，這樣就不會交叉了。對於剩下的1，直接接到根節點即可。