【組合恆等式】\(\sum_{k=0}^{r}C_m^k \times C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r\)

問題模型：

P舞團將從M舞團和N舞團共選拔出r個人來加入到P舞團，求問一共有多少種選法？

思路一：

在M中選x人，那麼就在N中選r-x人最終只需對所有情況取個西格瑪,即\(\sum_{k=0}^{r}C_m^{k}\times C_n^{r-k}\)，也可以寫作\(\sum_{k=0}^r\tbinom{m}{k}\times \tbinom{n}{r-k}\)

思路二：

直接在M、N組成的整體中直接去選取r個人，即\(C_{m+n}^{r}\)，也可以寫作\(\tbinom{m+n}{r}\)

由於這兩種思路都是正確的，故而由這兩個式子算出來的結果是相等的。

此外，需要注意的是在運用這個公式需要注意一下是否滿足\(r<=min(m,n)\)這個前提條件。

推論

\(\sum_{k=0}^{r}C_m^{k}\times C_n^{r-k}=C_{m+n}^{r}\)

若將該公式中r替換為n，我們將有

\(\sum_{k=0}^{n}C_m^{k}\times C_n^{n-k}=C_{m+n}^{n}\)

經過化簡，我們有

\(\sum_{k=0}^{n}C_m^{k}\times C_n^{k}=C_{m+n}^{m}\)

也可以寫作\(\sum_{k=0}^{n}\tbinom{m}{k}\times \tbinom{n}{k} = \tbinom{m+n}{m}\)