高等代數筆記【1】行列式的定義

阿新 • • 發佈：2022-12-13

排列與逆序數

定義1.1 由 $1,2,3,\cdots,n$ 組成的有序陣列稱為一個 $n$ 階排列。

需要注意的是，$n$ 階排列是一個有序陣列。例如，$(1,2)$ 與 $(2,1)$ 儘管都是由元素 $1,2$組成的，但是它們是兩個不同的排列，因為它們的順序不同。以下，我們在沒有歧義的情況下，將 $n$ 階排列 $(j_1,j_2,j_3,\cdots,j_n)$ 簡記為 $j_1 j_2j_3\cdots j_n$ .

定義1.2 我們稱 $j_1j_2j_3\cdots j_n$ 中的一對元素 $j_p,j_q$ 為一對逆序，當且僅當 $j_p > j_q$

且 $p<q$ . 這個排列中所有不同的逆序的個數稱為這個排列的逆序數，記為 $\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)$

定義1.3 逆序數為奇數的排列為奇排列，逆序數為偶數的排列為偶排列。特別地，我們稱$123\cdots n$ 為自然排列。

對於排列的一個基本的操作稱為對換，指將排列中的兩個元素互換位置。我們可以得到下面的命題

定理1.1 對換改變排列的奇偶性。

證明：分類討論。當對換的兩個元素是相鄰的時候，如
\[\cdots jk\cdots\Rightarrow\cdots kj\cdots \]
對於這個排列中的一對元素 $i_1i_2$

,若這兩個元素都不是 $j$ 或 $k$ ,則 $i_1i_2$ 為順序或逆序並不受該對換影響。若 $i_1i_2$ 中的只一個元素是 $j$ 或 $k$ ，則易見它的排序仍然不變。若 $i_1i_2$ 就是 $jk$ 則經過這個對換將 $jk$ 由順序變為逆序(由逆序變為順序)。可以看出相鄰對換會將逆序數加或減一，由定義知改變了排列的奇偶性。

接下來考慮對換兩元素不相鄰的情況。若對換兩元素不相鄰，即
\[\cdots i_{n-1}ji_{n+1}\cdots i_{m-1}ki_{m+1}\cdots\Rightarrow \cdots i_{n-1}ki_{n+1}\cdots i_{m-1}ji_{m+1}\cdots \]
則這個對換可以由若干次相鄰對換得到。首先將 $j$

通過 $m-n$ 次相鄰對換移到 $k$ 的左側
\[\cdots i_{n-1}ki_{n+1}\cdots i_{m-1}ji_{m+1}\cdots\Rightarrow\cdots i_{n-1}jki_{n+1}\cdots i_{m-1}i_{m+1}\cdots \]
然後再將 $k$ 通過 $m-n-1$ 次相鄰對換移到 $i_{m-1}$ 與 $i_{m+1}$ 中間
\[\cdots i_{n-1}jki_{n+1}\cdots i_{m-1}i_{m+1}\cdots\Rightarrow\cdots i_{n-1}ji_{n+1}\cdots i_{m-1}ki_{m+1}\cdots \]
這樣就得到了最初的對換，此時我們進行了 $(m-n)+(m-n-1)$ 次相鄰對換，奇數次改變了奇偶性，易見最終這個對換也改變了奇偶性。 $\Box$

有了這個重要的定理，我們可以證明一些重要的結論

定理1.2 所有的 $n$ 階排列中奇排列與偶排列數量相同

證明：設偶排列個數為 $s$ ，奇排列個數為 $t$ .若兩個偶排列不同，則至少有兩個位置對應的元素不同。對於所有的偶排列，對換它們的前兩個元素，則得到了 $s$ 個不同的奇排列，得 $s\ge t$ ，反之，又可以得到 $s\le t$ ，故 $s=t$ . $\Box$

行列式的定義

對於一個 $ n$ 行 $n$ 列的陣列，行列式是這樣的一種運算，它將這個陣列計算為一組數。

定義1.3
\[\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \]
又記為 $\det(A)$ 或 $|A|$

其中 $\sum\limits_{j_1j_2j_3\cdots j_n}$ 表示對所有可能的 n 階排列進行求和。

在定義時我們要求 $a$ 的第一個指標按照順序排列，而對第二個指標求逆序數，實際上這是不必要的

定理1.3
\[\det(A)=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)+\tau(i_1i_2i_3\cdots i_n)}a_{i_{1}j_1}a_{i_{2}j_2}\cdots a_{i_{n}j_n} \]
其中
\[A=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{pmatrix} \]

此處的 $A$ 為矩陣，儘管我們並沒有引入矩陣的概念，但在此處，我們只需要知道 $\det(A)$ 與定義1.3中的行列式形式一致即可。

證明：這兩種求和有著相同的項數，且每項之間只有前方符號不同，因此只需證明對應項符號相等即可。對於 $a_{i_{1}j_1}a_{i_{2}j_2}\cdots a_{i_{n}j_n}$ ，設它進行了 $t$ 次對換後將第一個指標 $i_n$ 變為自然排列，即
\[a_{i_{1}j_1}a_{i_{2}j_2}\cdots a_{i_{n}j_n}\Rightarrow a_{1j_1^{\prime}}a_{2j_2^{\prime}}\cdots a_{nj_n^{\prime}} \]
若 $\tau(i_1i_2i_3\cdots i_n)$ 與 $\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)$ 有相同的奇偶性，則它們經過相同次數的對換後仍具有相同的奇偶性，得 $j_1^{\prime}j_2^{\prime}j_3^{\prime}\cdots j_n^{\prime}$ 為偶排列，於是有
\[(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)+\tau(i_1i_2i_3\cdots i_n)}=(-1)^{\tau{({j_1^{\prime}j_2^{\prime}j_3^{\prime}\cdots j_n^{\prime}}})} \]
若 $\tau(i_1i_2i_3\cdots i_n)$ 與 $\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)$ 有不同的奇偶性，則它們經過相同次數的對換後仍具有不同的奇偶性，得 $j_1^{\prime}j_2^{\prime}j_3^{\prime}\cdots j_n^{\prime}$ 為奇排列，於是有
\[(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)+\tau(i_1i_2i_3\cdots i_n)}=(-1)^{\tau{({j_1^{\prime}j_2^{\prime}j_3^{\prime}\cdots j_n^{\prime}}})} \]
這樣就證明了命題。 $\Box$