題目：The Byzantine Generals Problem
年份：1982
來源：ACM Transactions on Programming Languages and Systems
作者：LESLIE LAMPORT, ROBERT SHOSTAK, and MARSHALL PEASE

• 1.Introduction
• 2.Impossible Results
  • 2.1 3將軍(1叛徒)問題不存在解/不能達成共識
  • 2.2 少於3m+1個將軍(有m個叛徒)不存在解/不能達成共識。
    • 2.2.1 精確一致性的證明
    • 2.2.2 近似一致性的證明
• 3. A Solution With Oral Messages
  • 3.1 Oral Messages的定義
  • 3.2 OM(m)演算法的步驟及其正確性推導
    • 3.2.1 演算法步驟
    • 3.2.2 OM(M)演算法的正確性證明
• 4. A Solution With Signed Messages
  • 4.1 Signed Message的定義
  • 4.2 SM(m)演算法的步驟及其正確性推導
    • 4.2.1 SM(m)演算法的步驟
    • 4.2.2 SM(m)演算法的正確性證明
• 5. Missing Communication Paths
  • 5.1 對OM(m)的改進OM(m,p)
• 6. Reliable Systems
  • 6.1 可信系統的要素
  • 6.2 訊息傳遞系統的約束
    • 6.2.1 A1 每一個正常節點發出的資訊都被正確的送達
    • 6.2.2 A2 資訊接收者知道資訊的傳送者
    • 6.2.3 A3 資訊缺失能夠被檢測到。
    • 6.2.4 A4 簽名不可篡改及可驗證性
• 7. 結論
• 8. 個人理解&與PBFT的聯絡與區別

1.Introduction

問題定義

將軍決定對敵方城市一個統一的計劃，將軍之間通過信使通訊。

解決該問題有效演算法的限定條件：

A.所有誠實的將軍決定一致的行動計劃（誠實的將軍要麼都是撤退，要麼都是進攻）
B. 少部分的叛徒並不會導致誠實的將軍接受錯誤的計劃

條件A若為真，則後述內容為真：每一個誠實的將軍必須獲得相同的資訊（也可表述為：任意兩個城市節點的收到將軍i的v(i)值是相同的）；如果第i個將軍是忠誠的，那麼其他將軍用到的他所發出的資訊也必須是v(i)。

拜占庭將軍問題：一個commanding general傳送給他的n-1個lieutenant generals命令，以達成一致，約束條件如下：

IC1.所有誠實的中尉遵從相同的命令；
IC2.如果將軍誠實，每一個誠實的中尉都遵從指揮官的命令。

IC1&IC2也被稱為互動一致性( interactive consistency )。
這裡的IC1&IC2分別保證了分散式系統中的Safety與Liveness。

2.Impossible Results

2.1 3將軍(1叛徒)問題不存在解/不能達成共識

 如圖所示，在three-general(one traitor)問題中，不管指揮官還是中尉2是叛徒，中尉1都無法對拜占庭節點進行區分，在圖2中，中尉1最終會選擇進攻，而中尉2會選擇撤退，所以就不滿足IC1。因此，一個指揮官兩個中尉（中尉必須服從指揮官的命令），存在一個叛徒的情況下不能達成一致的的行動計劃。

2.2 少於3m+1個將軍(有m個叛徒)不存在解/不能達成共識。

2.2.1 精確一致性的證明

證明（反證法）：
 注意此處的拜占庭將軍並不單指叛徒，而是指所有的將軍。
 本文假設3m個將軍(m個叛徒)存在解，用這一解來構造three-general (one traitor)問題的解。而3將軍解由上文分析可以知道是不存在的（也就是如果構造出來了，那就說明3將軍解存在），但這與已知(3將軍問題不存在解)矛盾，所以假設(即3m將軍問題存在解)不成立。

 將3m將軍m叛徒問題中的將軍稱為阿爾巴尼亞將軍，3將軍1叛徒中的將軍稱為拜占庭將軍，以示區分。

 拜占庭指揮官代表一個阿爾巴尼亞指揮官和m-1個阿爾巴尼亞中尉，兩個拜占庭中尉分別代表m個阿爾巴尼亞中尉。因此對於拜占庭叛徒將軍（代表m個阿爾巴尼亞將軍），最多對應m個阿爾巴尼亞叛徒將軍。
 由IC1可知，m個阿爾巴尼亞中尉（由單個誠實拜占庭中尉所代表）遵循相同的命令，這一命令也是該誠實拜占庭節點所需要遵守的命令。
 對於阿爾巴尼亞將軍，可知是滿足IC1和IC2的，又由以上對應關係，可知3將軍問題是滿足IC1和IC2的，也即3將軍問題存在解，與已知矛盾，故3m將軍問題不存在解

2.2.2 近似一致性的證明

精確一致性與近似一致性是同等困難的
 本文假設將軍必須同意一個大致的攻擊時間，而不是具體的攻擊計劃，即，指揮官下令指示攻擊時間，且滿足以下條件：

IC1'. 所有的誠實中尉在十分鐘內發起攻擊。
IC2'. 指揮官誠實，則誠實的中尉在指揮官命令中的寫的進攻時間的±10min會進攻

（攻擊之前一天該命令就已經被中尉們收到；收到命令的時間不重要。只有在命令中指示的的攻擊時間重要。）

上述問題類似於拜占庭將軍問題，除非誠實的將軍數多於2/3，否則本問題無解。

證明(依舊反證法)：
假設本問題有解，那麼我們可以用這個解構造出拜占庭3將軍問題的解。
假設：指揮官傳送給中尉資訊攻擊的時間。1:00代表進攻，2:00代表撤退。

（1）每個中尉根據收到的攻擊時間而遵循的命令：
	時間是1:10以前，則攻擊；
	時間是1:50之後，則撤退；
	否則轉向（2）
（2）查詢其他中尉做出的“進攻”或“撤退”的命令
	如果其他中尉做出了決定，則該中尉遵循與其他中尉相同的命令；
	否則，撤退。

對上述問題的分析：
 如果指揮官是忠誠的，那麼IC2'就被滿足，由IC2'可以推出IC1'。
 如果指揮官是叛徒，則需要IC2'成立，此時兩個中尉都是誠實的。根據IC1'，如果一箇中尉(稱該中尉為L1)決定進攻，那麼另一個就不能夠決定是進攻還是撤退（因為不滿足IC1'的條件，稱該不能決定的中尉為L2），所以L2轉向step(2),查詢到L1的決定為進攻，因此L2也決定進攻，那麼L1和L2就達到了共識，故IC1'也滿足。因此就構造出了拜占庭問題的3將軍問題的解，同理，拜占庭的3將軍問題不存在解，因此本問題也不存在解。
 同理對於該近似一致性的3m將軍問題的解與上文所述一致。

3. A Solution With Oral Messages

3.1 Oral Messages的定義

Oral messages:

• A1 每一個正常節點發出的資訊都被正確的送達；
• A2 資訊接收者知道資訊的傳送者；
• A3 資訊缺失能夠被檢測到。

 A1&A2保證叛徒節點不能夠干擾兩個誠實節點的通訊，A1保證資訊傳輸的正確性，A2保證資訊本身的正確性。A3能夠阻止叛徒不傳送資訊來干擾共識達成。（具體實現在section 6）
 以上要求了將軍之間能夠直接進行通訊，section 5 提出了不能進行直接通訊的演算法。

3.2 OM(m)演算法的步驟及其正確性推導

3.2.1 演算法步驟

 本節提出的演算法OM(m)，m為叛徒個數。叛徒為指揮官時可能不傳送進攻或者撤退的訊息，本文把撤退作為預設命令。
中尉的編號是1~(n-1)，每個中尉傳送的資訊是v_i（作者發現用中尉“獲得某一值”比“服從命令”要更加方便）

函式majority:
取收到的訊息(v₁,v₂……v_n-1)的大多數。
（大多數的確定：眾數或者中位數）
演算法OM(0)：
(1)指揮官傳送命令
(2)中尉收到指揮官的命令

演算法OM(m) m>0：
(1)指揮官傳送其命令給所有中尉
(2)對每一箇中尉i，若收到來自指揮官的命令，那麼將其值賦給v_i，否則，v_i的值為RETREAT。中尉i作為指揮官執行OM(m-1)演算法將他的v_i值傳送給其他n-2箇中尉。
(3)對每一箇中尉i，讓v_j代表i在步驟(2)收到的來自其他中尉j的值v_j。那麼中尉i會採用majority(v₁,v₂……v_n-1)。

如圖示例：m=1, n=4.

當一箇中尉為叛徒的情況

(1) 在OM(1)的第一階段，指揮官傳送值v給其餘三個中尉;
(2) 第二階段：中尉1用演算法OM(0)傳送值v給中尉2，中尉3傳送給中尉2值x；
(3) 在第三步，中尉2此時獲得了兩個v和一個x，因此最終中尉2獲得正確的值為v=majority(v,v,x)。中尉1同理。
當指揮官為叛徒的情況
(1) 指揮官傳送值x,y,z給中尉1,2,3；
(2)~(3) 最終每一箇中尉都得到majority(x,y,z)，並不能得到統一的解。

由以上過程，可知演算法是遞迴執行的，從OM(m)到OM(m-1)...OM(0)，OM(m)呼叫n-1個OM(m-1)，每個OM(m-1)呼叫n-2個OM(m-2)...一直到OM(0)

節點數n，叛徒數m的情況下若叛徒節點參與通訊(傳送錯誤資訊):

OM(m-1)被呼叫的次數n-1  
OM(m-2)被呼叫的次數(n-1)(n-2)  
OM(m-3)被呼叫的次數(n-1)(n-2)(n-3)  
OM(m-k)被呼叫的次數(n-1)(n-2)(n-3)..(n-k)  
總的次數：n-1+(n-1)(n-2)+(n-1)(n-2)(n-3)+(n-1)(n-2)(n-3)..(n-k) 

這裡是以上遞迴演算法的流程

3.2.2 OM(M)演算法的正確性證明

引理1：對任意m,k，若系統中將軍總數超過2k+m，叛徒最多有k個，演算法OM(m)滿足IC2，即如果指揮官誠實，那麼每一個誠實的中尉都遵從指揮官的命令。

引理1證明：
當m=0時，由A1可知，IC2滿足；
當m>0時，在OM(m)演算法的step(1)，指揮官把值傳給n-1箇中尉，在step(2)中，每一個誠實的中尉呼叫OM(m-1)，前文已知n>2k+m，因此n-1>2k+(m-1)，所以每一個誠實的中尉i都會得到城實中尉的v_j=v。又因為n-1>2k+(m-1)>=2k，即這n-1箇中尉的半數以上都是誠實的，所以step(3)中獲得的majority(v₁,v₂……v_n-1)必等於v，即滿足IC2。

定理1 對任意m，如果將軍數量大於3m且叛徒數最多是m，演算法OM(m)滿足IC1和IC2。

定理1證明：
當不存在叛徒(m=0)的時候，顯然OM(0)滿足IC1&IC2的約束，因此假定OM(m-1)成立，證明OM(m)，m>0成立。
假設指揮官誠實，由引理1可知，若k與m相等，則OM(m)滿足IC2，又因為在指揮官誠實的情況下IC1可以由IC2推出，所以只需要證明在指揮官是叛徒的情況下檢驗是否滿足IC1。
已知指揮官是叛徒，最多有m個叛徒。所以中尉中最多有m-1個叛徒。中尉的數量是3m-1，且3m-1>3(m-1),因此OM(m-1)滿足IC1&IC2。對於每一個j，任意兩個誠實的中尉得到的都是相同的v_j的值(這任意兩個中尉有一個是j的話就由IC2可以推出；若不包括j的話，由IC1可以推出)。因此，任意兩個誠實的中尉最終會得到相同的v₁,v₂……v_n-1，也即演算法step(3)的majority(v₁,v₂……v_n-1)相同，OM(m)的IC1的以證明。

對於證明的思路分析：
採用了歸納演繹法，
顯然OM(0)恆成立；
假設OM(m-1)成立，
	若指揮官誠實，那麼由引理1可推OM(m)的IC2成立，進而OM(m)IC1成立。
	若指揮官為叛徒，
		通過歸納法證明過程中對任意j由OM(m-1)的IC2推出任意兩個誠實中尉有相同v<sub>j</sub>的值，
		這是因為如果j為兩個誠實中尉之一，那麼就符合OM(m-1)的IC2條件；
		如果j不是這兩個誠實中尉之一，那麼j是誠實將軍自不必多說，
		如果j是叛徒的話，因為該任意兩個中尉是誠實的，
		由IC1也可推知二者Vj的值也相同，
		雖然不是正確值，但達成了共識。
		因此滿足IC1，即OM(m)滿足IC1&IC2。

綜上，定理1成立。

4. A Solution With Signed Messages

4.1 Signed Message的定義

  叛徒能夠“撒謊”導致拜占庭將軍問題變的難以解決。可以通過讓將軍傳送不可偽造的資訊的方式進行解決。
  在A1~A3的基礎上新增A4約束：

(a) 誠實將軍的簽名不可偽造且可以檢測到任何其簽名的資訊的改動；
(b) 任何人都可以驗證將軍的簽名的真實性。
並未對叛徒將軍的資訊進行約束，因此叛徒將軍之間可以共謀。

有了以上約束，3將軍問題就存在瞭解。
m叛徒任意數量將軍演算法：(將軍總數少於m+2是無意義的)

4.2 SM(m)演算法的步驟及其正確性推導

4.2.1 SM(m)演算法的步驟

演算法大致流程：

指揮官傳送帶有自己簽名的資訊給所有中尉；
中尉在指揮官簽名的基礎上附上自己的簽名併發給其他中尉；
其他中尉重複操作。

定義choice函式將一組命令轉變成單個命令：

1. 如果集合V由單個元素v組成，choice(V)=v;
2. choice(None)=RETREAT。

choice函式的定義也可以是中位數。
x:i表示被將軍i簽名的資訊x，v:j:i表示先被j簽名的資訊v，然後又被i簽名的v:j。
General 0代表commander.
每一個lieutenant i都維持一個集合V_i，V_i是當前收到的被正確簽名的命令的集合。(如果指揮官誠實，那麼此集合只有一個元素。)

演算法SM(m)步驟:
  (1). Initially $V_i=\Phi$
  (2). For each i:
     (A) If Lieutenant i receives a message of the form v:0 from the commander and he has not yet received any order,       then
      (i) he lets $V_i$ equals ($v$):
      (ii) he sends the message $v:0:i$ to every other lieutenant.
    (B) If Lieutenant i receives a message of the form $v:0:j_1:...:j_k$ and $v$ is not int the set $V_i$, then:
      (i) he adds $v$ to $V_i$;
      (ii) if $k<m$, then he sends the messages $v:0:j_1:...:j_k:i$ to every lieutenant other than $j_1:...:j_k$.
  (3). For each i: When Lietenant i will receive no more messages, he obeys the order $choice(V_i)$.

在步驟(2)，中尉i會忽略任何已經包含在集合$V_i$中的命令$v$的資訊。
在step(3)如果一箇中尉不接受到資訊該如何決斷呢？一箇中尉在step(2)能夠最多接收到一次 $v:0:j_1:...:j_k:i$ 資訊，若約束中尉$j_k$要麼傳送該資訊(指 $v:0:j_1:...:j_k:i$ )，要麼傳送一個其停止接收該資訊的資訊，就能夠在收到所有資訊較容易地做出決定。(通過A3約束，即任何資訊的缺失都能夠被檢測到，任一中尉都能夠檢測到上述關於$j_k$上述兩個資訊的缺失) 。除此以外，當無資訊到達時超時機制也可用於進行決斷(Section 6給出)。
step(2)中收到簽名的中尉會丟棄具有不正確簽名格式的資訊，這是為了節省儲存空間。因為如果不這麼辦的話，當一個命令$v$被$k$箇中尉簽名並以訊息形式傳遞給其他中尉的時候，系統中就會存在$(n-k-2)(n-k-3)...(n-m-2)$個拷貝。
以n=7,m=2為例：(本文應該是預設叛徒不參與通訊(也可能是無法進行通訊)或且發出的資訊並不留存)

之後所有節點發現k=m，轉step(3)

上圖5展示了演算法SM(1)的執行過程，叛徒指揮官發給中尉1命令$"attack":0$ ，發給中尉2命令$"retreat":0$ 。經過step(2)，兩個中尉的$V_1=V_2={"attack","retreat"}$,且都遵循該命令$choice=({"attack","retreat"})$，與圖2的OM演算法不同之處在於中尉通過最後的$choice$可以知道指揮官是叛徒，並且A4也能保證其結論的正確性。
事實上，第m個將軍並不需要繼續在命令的後邊附上自己的簽名，因為他收到命令之後就不會再轉發給別人了。因此SM(1)的簽名是不必要的。

4.2.2 SM(m)演算法的正確性證明

定理2 對任意m，演算法能夠解決最多m個叛徒的拜占庭將軍問題。

證明：
先證IC2，當指揮官是誠實的情況下，在step(1)他會發送$v:0$給他的中尉們，每一個誠實的中尉在step(2)(A)都會收到命令$v$,因為叛徒中尉並不能偽造指揮官簽名，因此在step(2)(B)並不能對訊息進行篡改，所以誠實的中尉在step(2)(B)並不能收到除了$v$以外的其他命令。這就保證了集合$V_i$只會有一個命令$v$，再經由step(3)的$choice$函式，最後每一箇中尉的命令都是一樣的，也即滿足IC2。
因為在指揮官是誠實的情況下IC1可以由IC2推匯出，因此只需要證明指揮官是叛徒的情況下是否符合IC1即可。若兩個中尉$i,j$最後在步驟3服從相同的命令，那麼他們倆在step(2)的$V_i,V_j$也是一樣的。因此，證明IC1就是證明
如果$i$在step(2)將$v$加入到集合$V_i$，那麼$j$也一定在step(2)把$v$加入到$V_j$中。
如果i在step(2)(A)收到了命令$v$，那麼他就會將其在step(2)(A)(ii)傳送給$j$，所以$j$就會收到這一資訊(因為訊息的A1約束)。如果$i$在step(2)(B)將命令新增到自身的$V_i$中,那他一定收到了資訊 $v:0:j_1:...:j_k$ 。如果$j$是其中一個$j_r$那麼通過A4約束，他一定已經收到了訊息$v$，如果$j$不在該簽名佇列( $j_1:...:j_k$ )中，分兩種情況

1. $k<m$的話，i就會將資訊$v:0:j_1:...:j_k:i$發給$j$，$j$同樣會收到命令$v$。
2. $k=m$的話，除叛徒指揮官之外，n-1箇中尉中最多還有m-1個叛徒中尉，因此至少在$j_1，j_2 ...:j_m$中，至少有一箇中尉是誠實的。那麼這個誠實的中尉也在他收到訊息的第一時間將$v$發給$j$。

所以無論如何$j$還是會收到$v$
綜上所述，SM(m)演算法滿足IC1&IC2，定理2成立。

5. Missing Communication Paths

前文所述都是將軍之間可以兩兩直接傳送訊息的情況，以下討論移除這一假設對演算法OM(m)和SM(m)進行擴充套件。
3-正則圖(3-regular graph)：每一個節點的度都是3.如下圖所示。

如果兩個將軍有邊相連，那麼稱這兩個將軍為鄰居。

定義1 ：
  (a) 節點i的鄰居正則集合(regular set of neighbors)是滿足以下條件的點集${i_1,...,i_p}$
    (i) 每一個$i_j$是點$i$的鄰居，且
    (ii) 對每一個不同於$i$的將軍$k$，存在至少兩條從$i_j$到$k$的不經過$i$且只有終點$k$重合的路徑$\gamma_j,_k$。
  (b) 如果圖G的每一個點都有一個由p個點構成的regular set of neighbors，那麼圖G被稱為p-正則圖(p-regular)。

圖6就是一個$3-regular$，圖7就不是，因為中心點沒有有3個點的regular set of neighbors。

5.1 對OM(m)的改進OM(m,p)

前提：需要將軍(包括叛徒將軍)之間的能夠傳送訊息的圖是一個$3m-regular$。
對所有的正數$m,p$，如果圖G是一個$p-regular$，定義演算法$OM(m,p)$如下所示。
$OM(m,p)