題面

思路

這種題當然要 \(dp\) 啦
設 \(g_{i,j}\) 表示前 \(i\) 個位置用指定的 \(j\) 種顏色裝飾（即用顏色 \(1..j\) 來裝飾）
那麼 \(g_{i,j}=g_{i-1,j}*(j-1)+g_{i-1,j-1}*j\)
前一項表示前 \(i-1\) 用了 \(j\) 種顏色，那麼當前位可以用 \(j-1\) 種顏色，因為它和前面一個不能相同
後一項表示前 \(i-1\) 用了 \(j-1\) 種顏色，根據定義，前 \(i-1\) 位用的顏色是 \(1..j-1\)，而現在多了一種來用，那麼在 \(i\) 這個階段的前 \(i-1\) 位用 \(j-1\)

再設 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 層放了裝飾品且第 \(i\) 層選 \(j\) 種顏色的裝飾品的方案數
那麼 \(f_{i,j}={\sum_{k=1}^{a_{i-1}}f_{i-1,k}*C_{m}^{j}*g_{a_i,j}}-f_{i-1,j}*g_{a_i,j}\)
意思是前 \(i-1\) 層放的方案乘上本層 \(a_i\) 個位置選 \(j\) 種顏色的方案（乘法原理），因為 \(g\)

而本題更噁心的是模數不一定是質數，所以再算組合數時我們需要質因數分解，加點奇技淫巧避免時間和空間裂開
看我們算 \(C\) 的過程，顯然算 \(C_{m}^{j+1}\) 時可以從 \(C_{m}^j\) 處推來
所以我們分解質因數後存的東西不用清零，直接指數該加的加，該減的減
最後快速冪算一下剩下的指數和底數的貢獻就行了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int M = 5005;
int n , m , a[1000005] , Mx , o , tot , pr[M] , vis[1000005] , num[1000005] , s[1000005] , cnt;
LL p , g[M][M] , f[3][M] , c[1000005] , sum , ans;

inline void getprime(int m)
{
	vis[0] = vis[1] = 1;
	for(register int i = 2; i <= m; i++)
	{
		if (!vis[i]) pr[++tot] = i;
		for(register int j = 1; j <= tot && pr[j] * i <= m; j++)
		{
			vis[pr[j] * i] = 1;
			if (i % pr[j] == 0) break;
		}
	}
}

inline LL fpow(LL x , int y)
{
	LL res = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) res = res * x % p;
		y >>= 1 , x = x * x % p;
	}
	return res;
}

inline void up(int x)
{
	for(register int i = 1; i <= tot && pr[i] * pr[i] <= x; i++)
	if (x % pr[i] == 0)
	{
		if (!vis[pr[i]]) vis[pr[i]] = 1 , num[++cnt] = pr[i];
		while (x % pr[i] == 0) s[pr[i]]++ , x = x / pr[i];
	}
	if (x > 1)
	{
		if (!vis[x]) num[++cnt] = x , vis[x] = 1;
		s[x]++;
	}
}

inline void down(int x)
{
	for(register int i = 1; i <= tot && pr[i] * pr[i] <= x; i++)
	if (x % pr[i] == 0)
	{
		while (x % pr[i] == 0) s[pr[i]]-- , x = x / pr[i];
	}
	if (x > 1) s[x]--;
}

inline LL getc(int x , int y)
{
	LL res = 1;
	up(y) , down(x);
	for(register int i = 1; i <= cnt; i++)
		res = res * fpow((LL)num[i] , s[num[i]]) % p;
	return res;	
}

int main()
{
	freopen("kalanchoe.in" , "r" , stdin);
	freopen("kalanchoe.out" , "w" , stdout);
	scanf("%d%d%lld" , &n , &m , &p);
	for(register int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d" , &a[i]) , Mx = max(Mx , a[i]);
	
	g[1][1] = 1;
	for(register int i = 2; i <= Mx; i++)
		for(register int j = 1; j <= i; j++)
			g[i][j] = (g[i - 1][j] * (j - 1) % p + g[i - 1][j - 1] * j % p) % p;
	
	getprime(m + 3);
	memset(vis , 0 , sizeof vis);
	
	for(register int i = 1; i <= min(m , Mx); i++) c[i] = getc(i , m - i + 1);
	
	sum = 1;
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
	{
		o = 1 - o;
		for(register int j = 1; j <= min(a[i] , m); j++) 
			f[o][j] = ((sum * c[j] % p * g[a[i]][j] % p - f[1 - o][j] * g[a[i]][j] % p) % p + p) % p;
		sum = 0;
		for(register int j = 1; j <= min(a[i] , m); j++) sum = (sum + f[o][j]) % p;
		if (i > 1) for(register int j = a[i] + 1; j <= a[i - 2]; j++) f[o][j] = 0; 
	}
	for(register int i = 1; i <= min(a[n] , m); i++) ans = (ans + f[o][i]) % p;
	printf("%lld" , ans);
}