P3306 [SDOI2013] 隨機數生成器
知識點: BSGS
原題面
題意簡述
\(T\) 組資料,每組給定引數 \(p,a,b,x_1,t\)。
對於數列 \(x\),有 \(x_{i+1} \equiv a \times x_i + b \pmod p\)。
求最小的 \(i\),使 \(t = x_{i}\)。
\(1\le T\le 50, 0\le a,b,x_1,t <p, 2\le p\le 10^9\)。
保證 \(p\) 為質數。
分析題意
以下分析均在 \(\pmod p\) 下展開:
觀察給定的遞推式:
\[\begin{aligned} x_2 \equiv& ax_1 + b\\ x_3 \equiv& a(a x_1 + b) +b=a^2x_1 +ab + b\\ x_4 \equiv& a^3x_1 +a^2b + ab + b \end{aligned}\]
可知其通項公式:
\[x_i \equiv a^{i-1}x_1 +b\sum_{k=0}^{i-2}a_k \]
發現後面一項為等比數列,套上求和公式略做處理:
\[\begin{aligned} x_i \equiv& a^{i-1}x_1 +b\sum_{k=0}^{i-2}a_k\\ x_i \equiv& a^{i-1}x_1 +\dfrac{1-a^{i-1}}{1-a}b\\ (a-1)x_i \equiv& (a-1)a^{i-1}x_1 +(a^{i-1}+1)b\\ ax^{i}-x_i+b \equiv& (ax_1-x_1+b) a^{i-1}\\ a^{i-1} \equiv& \dfrac{ax^{i}-x_i+b}{ax_1-x_1+b} \end{aligned}\]
將 \(t\) 代入,有:
\[a^{i-1} \equiv \dfrac{at-t+b}{ax_1-x_1+b} \]
化出了一個長得就很 BSGS 的指數方程。
直接套 BSGS 即可,注意最後輸出時答案+1。
細節
本題重點考察物件。
以下特判按照順序展開。
- \(x_1=t\),直接輸出 \(1\)。
- \(a=1\),\(x\) 變成了一個等差數列,有 \(x_i \equiv x_1+(i-1)b\)。
若 \(b=0\),則無解。
否則 代入 \(t\) 略做處理,有 \(i-1\equiv \dfrac{t-x_1}{b}\)。
費馬小定理求出右側,答案即右側 + 1。 - \(a=0\)
判斷 \(b=t\) 是否成立,若成立答案為 \(2\),否則無解。
程式碼實現
//知識點:BSGS
/*
By:Luckyblock
*/
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
//=============================================================
ll p, a, b, x, t, T;
ll num, den;
std :: map <ll, ll> mp;
//=============================================================
inline int read() {
int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
return f * w;
}
void GetMax(int &fir, int sec) {
if (sec > fir) fir = sec;
}
void GetMin(int &fir, int sec) {
if (sec < fir) fir = sec;
}
ll QuickPow(ll x_, ll y_, ll mod_) {
ll ret = 1;
while (y_) {
if (y_ & 1) ret = 1ll * ret * x_ % mod_;
y_ >>= 1, x_ = 1ll * x_ * x_ % mod_;
}
return ret;
}
void Prepare() {
mp.clear();
num = ((t * a + b - t) % p + p) % p;
den = QuickPow(((a * x + b - x) % p + p) % p, p - 2, p);
b = num * den % p;
}
void BabyStep() {
T = ceil(sqrt(double(p))) + 1;
ll sum = b;
for (ll r = 0; r < T; ++ r) {
mp[sum] = r;
sum = 1ll * sum * a % p;
}
}
ll GiantStep() {
if (b == 1) return 0;
ll at = QuickPow(a, T, p), sum = at;
if (! at) return (! b) ? 1 : - 1;
for (ll q = 1; q <= T; ++ q) {
if (mp.count(sum)) {
int ret = mp[sum];
if (ret >=0 && q * T - ret >= 0) {
return q * T - ret;
}
}
sum = (1ll * sum * at) % p;
}
return - 1;
}
//=============================================================
int main() {
int TestdataNum = read();
while (TestdataNum --) {
p = read(), a = read(), b = read(), x = read(), t = read();
if (x == t) {
printf("1\n");
continue ;
}
if (a == 1) {
if (! b) {
printf("-1\n");
} else {
t = ((t - x) % p + p) % p;
printf("%lld\n", t * QuickPow(b, p - 2, p) % p + 1);
}
continue ;
}
if (a == 0) {
printf("%d\n", b == t ? 2 : - 1);
continue ;
}
Prepare();
BabyStep();
ll ans = GiantStep();
printf("%d\n", ans >= 0 ? ans + 1 : - 1);
}
return 0;
}