前言

今天考試出了一個題
郭郭模擬退火騙了75分
於是再次把咕咕了好久的模退提上日程
如果進展順利
明後天應該會開爬山演算法和模退的部落格筆記
今天先把今天考試的正解學習一下——三分法

引入

老規矩上板子題
LuoguP3382

題目描述

給出一個 \(N\) 次函式，保證在範圍 \([l,r]\) 記憶體在一點 \(x\)，使得 \([l,x]\) 上單調增，\([x,r]\) 上單調減。試求出 \(x\) 的值。

輸入格式

第一行一次包含一個正整數 \(N\) 和兩個實數 \(l,r\)，含義如題目描述所示。
第二行包含 \(N+1\) 個實數，從高到低依次表示該 \(N\) 次函式各項的係數。

輸出格式

輸出為一行，包含一個實數，即為 \(x\) 的值。四捨五入保留 \(5\) 位小數。

Input

3 -0.9981 0.5
1 -3 -3 1

Output

-0.41421

秦九韶演算法

背景（廢話）

秦九韶演算法是一種將一元n次多項式的求值問題轉化為n個一次式的演算法。
其大大簡化了計算過程，即使在現代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶演算法依然是最優的演算法。
在西方被稱作霍納演算法，是以英國數學家霍納命名的。

計算方法

求多項式的值：

\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n \]

一眼暴力直接求值
那還要秦九韶幹啥

\[f(x)=a_0+x(a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n -1}) \]

\[f(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+a_3x+\cdots+a_nx^{n -2}) \]

順序進行到最後

\[f(x)=(\cdots(a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots+a_1)x+a_0 \]

來看一個五次式

\[f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\quad (x=5) \]

暴力求需要10個乘法
利用秦九韶演算法顯然可以只成4次
這下就大大改善了效率
顯然的，次數越高
演算法效率優化越明顯

接下來進入正題：三分法

三分法

簡介

三分法一般用來求某一個單峰函式的最值。
沒了。。。
和二分的區別就是
二分要求區間單調
三分要求只有一個“單峰”，即最值

實現

給定上下界，每次將上下界這個區間平均分成三份，取兩個三等分點比較，並縮小範圍。
三分法就是單峰函式求最值
當前我們位於\([l,r]\)
然後我們我們有兩個三等分點\(mid,mmid(mid<mmid)\)
也不一定非要兩個三等分點，只是舉個例子
假設我們求最大值
我們比較\(f(mid)\)以及\(f(mmid)\)
1.\(f(mid)>f(mmid)\)
那麼可以確定的是\(mmid\)一定位於最值右邊
2.\(f(mid)<f(mmid)\)
那麼可以確定的是\(mid\)一定位於最值左邊

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;

inline int read(){
	int x = 0, w = 1;
	char ch;
	for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

const double eps = 1e-8;
double a[20];
int n;

inline double f(double x){
	double ans = 0.0;
	for(int i = n; i >= 0; i--)
		ans = ans * x + a[i];
	return ans;
}

double l, r;
signed main(){
	n = read();
	cin >> l >> r;
	for(int i = n; i >= 0; i--)
		cin >> a[i];
	while(fabs(l - r) >= eps){
		double midl = l + (r - l) / 3;
		double midr = r - (r - l) / 3;
		if(f(midl) > f(midr))
			r = midr;
		else l = midl;
	}
	printf("%.5lf\n", l);
	return 0;
}

小結

這麼來看三分還是很簡單的（doge
這個板子求導+二分好像也能做
但是咱們今天學習板子對吧
稍等做完T4會把題目放到下面