題意

定義一個長度為 \(n\) 的置換的步數為將 \(P=(1,2,\cdots,n)\) 在該置換操作下變回原樣的最小次數。

求有多少個 \(K\) 使得存在一個長度為 \(n\) 置換使得其步數為 \(K\)。

\(\texttt{Data Range:}1\leq n\leq 10^3\)

題解

類比一下這題我們可以得到如下轉移方程：

\[f_{i,j}=f_{i,j-1}+\sum\limits_{p_j^k\leq i}f_{i-p_j^k,j-1} \]

這裡不需要乘 \(p_j^k\) 的原因是我只要求出 \(K\) 有多少而不是 \(K\) 的和，然後就沒了。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=1e4+51;
ll n,ptot;
li res=1;
ll prime[MAXN],np[MAXN]; 
li f[MAXN];
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
int main()
{
    n=read(),f[0]=1;
    for(register int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!np[i])
        {
            prime[++ptot]=i;
        }
        for(register int j=1;i*prime[j]<=n;j++)
        {
            np[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))
            {
                break;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=ptot;i++)
    {
        for(register int j=n;j>=1;j--)
        {
            for(register int k=prime[i];k<=j;k*=prime[i])
            {
                f[j]+=f[j-k];
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        res+=f[i];
    }
    printf("%lld\n",res);
}