投影

話說前幾天我在翻北師大版九年級上冊數學書時，發現這本書的第五章是“投影與檢視”。（這遊戲沒有漢化，這使書上術語的英文名是我感到十分親切。。）

這一章的第一小節就是投影，但其實對於立體幾何，書上講得非常簡單，這節的重點其實是承接上一章《圖形的相似》，利用相似三角形來計算投影的位置。

即使是這樣，我覺得還是很有必要放一下教科書上對投影的定義的：

物體在光線的照射下，會在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影（Projection）現象，影子所在的平面稱為投影面。

本來，小編覺得這句話的前半句太過物理化，不像數學語言的風格。但我之後又發現 百度百科 和 Wikipedia 上都是差不多的解釋，也就認了這個定義。

直到我翻了翻 XSection 的術語表：

它的解釋是這樣的：

A projection is a correspondence between the points of an object and a plane.

翻譯成中文就是：

投影是物件上和平面之間點的的對應關係

其中，correspondence這個詞就用得非常妙，一開始我其它詞都認識，只有這個不知道什麼意思，之後上谷歌翻譯查了查，Google 給我的解釋是 “對應”。

我認為這個術語表中的解釋是非常到位的，至少在遊戲中是適用且非常嚴謹的。

在後面的關卡中，會有許多需要找出投影的任務，這類題無非分兩種，一種是已知平面上的投影，求物體（object）上的點。

一種是已知物體上的點，求它在已知平面上的投影。

而只要掌握了這種對應關係，這兩種問題都可以迎刃而解。

中心投影

按照數學書對投影的解釋，把光源看作是一個點，也就是所有的光線都會相交在一個點上，就是中心投影。

數學書上的定義如下：

手電筒、路燈和檯燈的光線可以看成是從一個點發出的，這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。

最典型的例子就是燈泡了，我們可以將它看作是一個點光源，會向各個方向發光。手電筒還並不是一個典型，因為許多手電筒發出的其實更像是平行光。

在 XSection 中，它的定義是這樣的：

A central projection is a projection in which all projective rays passes through a given point S (the center of projetion).

翻譯過來就是：

中心投影中的每個投射線經過一個已知的點S（投影中心）。

平行投影

對於平行投影，一個很有意思的點是，太陽和燈都在向各個方向發光，但人們一般把燈光看作是點光源，使用的是中心投影，而太陽光則是平行光線，使用平行投影。

這主要是因為，太陽離我們太遠了，物體上的任意兩個點與太陽構成的三角形的那個角實在太小太小了，完全可以看作是平行的。

對於平行投影，書上的定義是這樣的：

太陽光線可以看成平行光線，平行光線所形成的投影成為平行投影（parallel projeciton）.

百度百科上說：

如果把中心投影法的投射中心即光源S移至無窮遠處，則各投射線成為相互平行的直線，物體投影就不受距離變化的影響，這種投射線都互相平行的投影法稱為平行投影法。

而 XSection 上的定義，則更加嚴謹和明確：

A parallel projection is a projection in which all projection rays are parallel to a given line.

翻譯成中文就是：

平行投影指的是每一條投射線都與給定直線平行的投影。

一個例子

值得注意的是，在遊戲中，所有關於投影的題都不會提示你使用中心投影法或者平行投影法。

不知道各位有沒有發現，在畫圖上，平行投影法像是畫出了一個稜柱，而中心投影法像是畫出了一個稜錐。

這是因為稜柱的每條稜互相平行，正好符合平行投影中投射線的性質。稜錐中所有稜都會相交與一點，也符合中心投影的性質。

下面來看一個例子。因為 XSection 中是無法改變檢視的，再加上豎屏不方便觀看，我們就用 GeoGebra 進行演示：

這是 XSection 中的 3.4 題，我認為比較有代表性。題目是這樣的：

已知I、H兩點，求線段 I、H 在底面上的投影。（過F點的直線FH和GC是相交的，原諒我忘了作交點了吧）

看到這個稜錐，首先想到的一定是中心投影法，因為它相當於給定了一個點G來求投影。

投影面當然是底面，這個在題目中有提到。

需要說明的是，直線FH的作用是表明點H在平面BGC上。事實上，FH//BC。

那麼作法就非常簡單了，首先連線並延長GH、GI。

下一步，找到這兩條射線和底面的交點。

這裡要注意的是，遊戲中你是無法直接找到線和麵的交點的，必須找到這個面上可以與它相交的一條線，然後點出線與線的交點（這其實也是後面很多題的難點）

在這道題中，這條線就是BC。第一節中講過，「一個平面上任意個點都是處在同一平面的」，所以，有了平面BCG，就有平面HCG，也就有交點J。

於是，根據同樣的方法，可以找到點I的投影點D。

最後，連線DJ，完成。

-> to be continued...