題目

求 \([1,n]\) 中有多少個數能寫作 \(a^b(b>1\) 且 \(a,b\) 均為正整數 \()\)。
\(n\leq 10^{18}\)。

思路

容易發現，只有當一個數字 \(k\) 被表示成 \(a^b\)，且 \(a=a'^{b'}\) 時才會計算重複。所以考慮如何對任意一個數 \(k\) 只計算 \(b\) 最小的方案。
為了防止 \(b\) 被拆分成 \(a'^{b'}\)，只列舉 \([1,64]\) 中的質數作為指數即可。
發現當 \(b=2\) 時，任意 \(a^b\) 都不會計算重複，所以直接將不超過 \(n^{\frac{1}{2}}\) 的數字記錄貢獻。
對於 \(b>2\)

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int LG=65,M=18;
const int prm[20]={0,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61};
ll n,ans;
map<ll,bool> vis;

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	ans=pow(n,0.5);
	for (register int i=1;i<=M;i++)
	{
		int Maxn=pow(n,1.0/prm[i]);
		for (register int j=2;j<=Maxn;j++)
		{
			ll p=pow(j,0.5),q=pow(j,prm[i]);
			if (p*p==j || vis[q]) continue;
			vis[q]=1;
			ans++;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}