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#logistic邏輯迴歸、最優化演算法
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下面主要說下
sigmoid函式和logistic迴歸分類器
最優化理論初步
梯度下降最優化演算法
資料中的缺失項處理
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優點：計算代價不高，易於理解和實現。
缺點：容易欠擬合，分類精度可能不高。
適用資料型別：數值型和標稱型資料。
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logistic邏輯迴歸主要利用sigmoid函式
sigmoid函式的輸入記為z，由下面公式得出：
    z=w_0*x_0+w_1*x_1+w_2*x_2+...+w_n*x_n
如果採用向量的寫法，上述公式可以寫成z=w^T*x,它表示將這兩個數值向量對應元素相乘然後全部加起來
即得到z值。其中的向量x是分類器的輸入資料，向量w也就是我們要找的最佳引數,從而使分類儘可能地精確

梯度上升法（一種最優化演算法）：
    公式：
    梯度上升法基於的思想是：要找某函式的最大值，最好的方法就是沿著該函式的梯度方向探尋。
你經常聽到的應該是梯度下降演算法，它與這裡的梯度上升演算法是一樣的，只是公式中的加法變成減法。
 
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from numpy import *

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        #dataMat.append( [1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])] )
        dataMat.append( [float(lineArr[0]), float(lineArr[1])] )
        labelMat.append(int(lineArr[
 
2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))    #exp() 以e為底的指數函式
 
#梯度上升
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    #轉換為Numpy矩陣資料型別
    datMatrix = mat(dataMatIn)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m,n = shape(datMatrix)
    alpha = 0.001   #移動步長
    maxCycles = 500 #
 
迭代次數
    weights = ones((n, 1))  #權重矩陣形狀為3行 1列 值為1.
    #print(weights)
    for k in range(maxCycles):
        '''
        #矩陣運算。變數h不是一個數而是一個列向量，列向量的元素的元素個數等於樣本個數，這裡是100.
        對應的，運算datMatrix * weights 代表不止一次乘積計算，事實上包含了300的乘積。
        '''
        h = sigmoid(datMatrix * weights)
        error = (labelMat -h)
        weights = weights + alpha * datMatrix.transpose() * error
    return weights

#分析資料：畫出決策邊界
def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0]
    xcord1=[]; ycord1=[]
    xcord2=[]; ycord2=[]
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marked='a')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x=arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x/weights[2])
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2')
    plt.show()

#隨機梯度上升
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #1行，n列，值為1. 矩陣
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error = classLabels[i] - h
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights

#改進的隨機梯度上升演算法
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)
    for j in range(numIter):
        dataIndex=list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01        #步長越來越小
            #隨機選取樣本來更新迴歸係數。將減少週期性的波動
            randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights +alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

#示例：從疝氣病症預測病馬的死亡率
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本節將使用logistic迴歸來預測患有疝病的馬的存活問題，資料包含368個樣本和28個特徵。
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def classifyVector(inX, weights):
    prob = sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob > 0.5: return 1.0
    else: return 0.0

def colicTest():
    frTrain = open('horseColicTraining.txt')
    frTest = open('horseColicTest.txt')
    trainingSet=[]; trainingLabels=[]
    for line in frTrain.readlines():
        currLine=line.strip().split('\t')
        lineArr=[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 500)
    errorCount = 0; numTestVec = 0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr = []
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights)) != int(currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
    print ("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
    return errorRate

def muliTest():
    numTests = 10; errorSum = 0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print("after %d iterations the average error rate is: \
        %f" % (numTests, errorSum/float(numTests)))


if __name__ == '__main__':
    '''
    dataArr,labelMat=loadDataSet()
    ret=gradAscent(dataArr, labelMat)
    print(ret)
    '''
    #從疝氣病預測病馬的死亡率
    muliTest()


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小結：
Logistics迴歸的目的是尋找一個非線性函式Sigmoid的最佳擬合引數，求解過程可以由最優化演算法完成。
在最優化演算法中最常用的就是梯度上升演算法，而梯度上升演算法又可以簡化為隨機梯度上升演算法。
隨機梯度上升演算法和梯度上升演算法的效果相當，但佔用更少的計算資源。此外，隨機梯度上升是一個線上演算法，
它可以在新資料到來時就完成引數更新，而不需要重新讀取整個資料集來進行批處理運算。
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