題面

題目可簡化為求：

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n!}{[gcd(i,m!)=1]}（1到n!中，所有與m!互質的數的個數） \]

如何求解：

首先假設有\(gcd(a,b) = 1\)，則一定有\(gcd(a+b,b)=1\)。

所以考慮把\(n!\)分為\(\frac{n!}{m!}\)塊，其中\(m \leq n\)，所以\(n!\) mod \(m!\) 一定等於\(0\)，即我們分出的一定是整數塊。

而且其中每一塊中與\(m!\)互質的數的個數一定是相等的。

此時我們的式子為：

\[\frac{n!}{m!}\times\displaystyle\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)=1] \]

其中

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)=1] \]

等等，是不是看著有點眼熟？小於等於\(m!\)的正整數中與\(m!\)互質的數的數目...不就是尤拉函式的定義嗎？

那這不就是\(\varphi(m!)\)嗎？

於是我們的式子就可以完美的變為：

\[\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!) \]

因為求\(\varphi(i)\)的公式為：

\[\varphi(i)=i\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}（p為i的所有質因數） \]

把\(\varphi(i)\)

\[\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!)=\frac{n!}{m!}\times m!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]

於是我們的式子就可以化簡為：

\[n!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]

注意此時\(p\)為\(m!\)的所有質因數。

那麼我們的問題就轉化為求：

\[n!\times\varphi(m) \]

\(n!\)好求，對於\(\varphi(m)\)我們線性求出逆元即容易求出。

線性預處理出來\(1\)到\(maxn\)的所有\(i!\)和$\varphi(i) \(即可\)O(1)$的詢問。

時間複雜度為\(O(1e7+t)\)。

由蒟蒻程式碼自帶大常數+某谷評測機不穩定，有時候能過有時候不能過，開了\(O_2\)穩過。

程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename temp>void read(temp &x){
	x = 0;temp f = 1;char ch;
	while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') and (f = -1);
	for(x = ch^48; isdigit(ch = getchar()); x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48));
	return (void)(x *= f);
}
template <typename temp, typename ...Args>void read(temp& a, Args& ...args){read(a), read(args...);}

const int maxn = 1e7+10;

int t, mod, n, m, cnt, prime[maxn];
long long inv[maxn], fac[maxn], fi[maxn];
bool is_prime[maxn];

void memset_mine(){ 
    fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = fi[0] = fi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= maxn; i ++){
        fac[i] = (fac[i-1]*i)%mod;
        inv[i] = mod-mod/i*inv[mod%i]%mod;
        fi[i] = fi[i-1];
        if(!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, fi[i] = (fi[i]%mod*(i-1)%mod*inv[i]%mod)%mod;
        for(int j = 1; j <= cnt and i*prime[j] <= maxn; j ++){
            is_prime[i*prime[j]] = 1;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
}

signed main(){
    read(t, mod);
    memset_mine();
    while(t --){
        read(n, m);
        printf("%lld\n", fac[n]%mod*fi[m]%mod);
    }
	return 0;
}

沒啦qwq。

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