概念

長鏈剖分按深度剖分，重兒子為葉子最深的兒子。具體應用時可以通過指標記錄資訊，也可以優先遍歷重兒子來 \(dfs\)，鏈上資訊為一個在 \(dfs\) 序上的連續區間，便於統計資訊和將資訊從重兒子合併過來。

void dfs_son(int x,int fa)
{
    d[x]=dep[x]=d[fa]+1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa) continue;
        dfs_son(y,x),dep[x]=max(dep[x],dep[y]);
        if(dep[y]>dep[son[x]]) son[x]=y;
    }
    len[x]=dep[x]-d[x];
}
 

一個節點到根節點的輕邊個數是 \(\sqrt n\) 級別的。

樹上 k 級祖先

可以做到 \(O(1)\) 查詢樹上 \(k\) 級祖先。對於每個長度為 \(len\) 的鏈，預處理鏈頂端向上 \(len\) 個節點，和沿鏈向下 \(len\) 個節點，其為即鏈上的點。詢問時先樹上倍增，跳到 \(2^i\) 級祖先，滿足 \(2^i \leqslant k <2^{i+1}\)，對於 \(2^i\) 級祖先所在的鏈，滿足 \(k-2^i < 2^i < len\)，所以可以跳到所在的鏈頂端後再通過預處理的資訊來調整。

void dfs_son(int x)
{
    de[x]=dep[x]=de[f[x][0]]+1;
    for(int i=1;i<=19;++i) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        dfs_son(y),dep[x]=max(dep[x],dep[y]);
        if(dep[y]>dep[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
void dfs_dfn(int x,int tp,int anc)
{
    top[x]=tp,dfn[x]=++cnt,u[cnt]=anc,d[cnt]=x;
    if(son[x]) dfs_dfn(son[x],tp,f[anc][0]);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==son[x]) continue;
        dfs_dfn(y,y,y);
    }
}
int ask(int x,int k)
{
    if(!k) return x;
    x=f[x][lg[k]],k-=(1<<lg[k])+de[x]-de[top[x]],x=top[x];
    if(k>=0) return u[dfn[x]+k];
    else return d[dfn[x]-k];
}
 

優化 DP

對於形如狀態為 \(f_{x,i}\) ，\(i\) 那一維是關於深度的樹形 \(DP\)，可以通過長鏈剖分來優化。每次轉移時先從重兒子來繼承，對輕兒子掃一遍其所在的鏈，因為每個輕兒子都是其所在鏈的頂端，所以每個點只會被掃一遍。

Dominant Indices，[POI2014]HOT-Hotels，[WC2010]重建計劃