用途：優化轉移時間複雜度只和深度有關的樹形DP

思想：定義重兒子為深度最大的兒子，每次用O（1）的時間繼承來自重兒子的資訊，然後暴力合併親兒子，均攤時間複雜度O（n），均攤空間複雜度O（n）。

證明：

　　時間複雜度：

　　　　定義長鏈為最長的全是由重兒子組成的鏈，則長鏈的頂點一定是一個輕兒子。

　　　　對於每個點，只存在於一條長鏈上，每條長鏈只會合併一次，需要O（長鏈長度）的時間，並且合併後根節點的資訊個數（根節點深度個）不會發生變化。

　　　　所以可以大膽地把時間均勻分配到每個輕鏈上的節點，均攤O（1），

　　　　最後子樹除去過根節點長鏈外所有節點均攤O（1），而長鏈上節點沒有合併沒有時間消耗，可看出一條鏈參與接下來的流程。

　　　　故時間為O（n）。

　　空間複雜度：

　　　　對於每條長鏈上的節點，可以通過模擬指標的方式將資訊以O（d）的大小儲存在頂點。每個點只屬於一條鏈，故總需空間O（n）

證畢

P3565 [POI2014]HOT-Hotels

　　先想DP，3個點距離相同，一定是分別到兩個點的Lca距離相同。

　　所以令f[u][i]表示在u的子樹中深度為i的節點的個數，g[u][i]表示在u的子樹中還需i的距離的點對數目，轉移如下

void dfs(int fa,int u) {
    f[u][0]=1; 
    for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
        int v=to[e];
        
 
if(v!=fa) {
            dfs(u,v);
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                ans+=g[v][j]*f[u][j-1]+g[u][j]*f[v][j-1];
            }
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                g[u][j]+=g[v][j+1]+(ll)f[u][j]*f[v][j-1];
                f[u][j]+=f[v][j-1];
            }
            g[u][
 
0]+=g[v][1];
        }
    }
}

　　用長鏈剖分進行優化（陣列可以往大里開）誰叫我不會指標呢

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=5005,M=2e5+5;
int n,cnt,id,to[N<<1],nxt[N<<1],he[N],dep[N],son[N],sf[N],sg[N];
ll t[M],ans;

inline void add(int u,int v) {
    to[++cnt]=v,nxt[cnt]=he[u],he[u]=cnt;
}

void dfs(int fa,int u) {
    if(son[u]) {
        sf[son[u]]=sf[u]+1;
        sg[son[u]]=sg[u]-1;
        dfs(u,son[u]);
    }
    t[sf[u]]=1,ans+=t[sg[u]];
    for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
        int v=to[e];
        if(v!=fa&&v!=son[u]) {
            sf[v]=id,id+=dep[v]<<1,sg[v]=id,id+=dep[v]<<1;
            dfs(u,v);
            for (int j=0;j<dep[v];++j){
                if (j) ans+=t[sf[u]+j-1]*t[sg[v]+j];
                ans+=t[sg[u]+j+1]*t[sf[v]+j];
            }    
            for (int j=0;j<dep[v];++j){
                t[sg[u]+j+1]+=t[sf[u]+j+1]*t[sf[v]+j];
                if (j) t[sg[u]+j-1]+=t[sg[v]+j];
                t[sf[u]+j+1]+=t[sf[v]+j];
            }
        }
    }
}

void dfs1(int fa,int u) {
    for(int e=he[u];e;e=nxt[e]) {
        int v=to[e];
        if(v!=fa) {
            dfs1(u,v);
            if(dep[son[u]]<dep[v]) son[u]=v;
        }
    }
    dep[u]=dep[son[u]]+1;
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v),add(v,u);
    }
    dfs1(0,1);
    sf[1]=id,id+=dep[1]<<1,sg[1]=id,id+=dep[1]<<1; 
    dfs(0,1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}