基礎演算法

阿新 • • 發佈：2020-08-14

大綱

一、排序

1、快速排序

//模板, 時間複雜度 O(nlogn)
//特別注意邊界問題和基準點的選取
//x = q[l] 時，遞迴不能用 i - 1
//x = q[r] 時，遞迴不能用 j + 1
//一般情況下，右邊界、左邊界、隨機點均可，但是對已經排好序的數列，取邊界點會導致最壞情況，複雜度達到	O(n^2)
//所以最佳做法是取隨機數，中點也不是最佳取法
//邊界問題想不清楚
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    
    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    
    while(i < j)
    {
        while(q[++i] < x);
        while(q[--j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

2、歸併排序

//模板
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j]) temp[k++] = q[i++];
        else temp[k++] = q[j++];
    }
    
    while(i <= mid) temp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) temp[k++] = q[j++];
    
    for(i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = temp[j];
}

二、二分

1、整數二分

//模板
bool check(int x)
{
    /*檢查x是否滿足某種性質*/
}
//區間[l, r]被劃分為[l, mid] 和 [mid + 1, r] 時
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
//區間[l, r]被劃分為[l, mid - 1] 和 [mid, r] 時
//當 l 被更新為 mid 時， mid = l + r + 1 >> 1, 如果不 +1，mid會永遠被更新為l
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(check(x)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

2、浮點數二分

//模板
bool check(double x)
{
    /*檢查x是否滿足某種性質*/
}

const double eps = 1e-6;// eps表示精度，一般題目要求小數點後i位， 精度就定位1e(-i-2)
double bsearch(double l, double r)
{
    while(r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(x)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

三、高精度

1、大數 + 大數

//引用減少拷貝時間，加快速度
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;             //進位
    }
    
    if(t) C.push_back(1);
    
    return C;
}

string a, b;
vector<int> A, B;
//逆序
for(int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size()-1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');

vector<int> C = add(A, B);
//逆序輸出
for(int i = C.size()-1; i >=0; i--) printf("%d", C[i]);

//壓9位，模板
const int base = 1000000000;

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        
        C.push_back(t % base);
        t /= base;
    }
    
    if(t) C.push_back(t);
    
    return C;
}

string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
//s:儲存壓位的每一個數，j:記錄位數，t:記錄乘的10
for(int i = a.size()-1, s = 0, j = 0, t = 1; i >= 0; i--)
{
    s += (a[i] - '0') * t;
    j++, t *= 10;

    if(j == 9 || i == 0)
    {
        A.push_back(s);
        s = j = 0;
        t = 1;
    }
}

for(int i = b.size()-1, s = 0, j = 0, t = 1; i >= 0; i--)
{
    s += (b[i] - '0') * t;
    j++, t *= 10;

    if(j == 9 || i == 0)
    {
        B.push_back(s);
        s = j = 0;
        t = 1;
    }
}

vector<int> C = add(A, B);

cout << C.back();
for(int i = C.size()-2; i >= 0; i--) printf("%09d", C[i]);

2、大數 - 大數

//模板A-B
//判斷兩數的大小
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
        if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
    
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    //t是借位
    for(int i = 0, t = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    //去前導0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
//逆序
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
//比較
if(cmp(A, B))
{
    vector<int> C = sub(A, B);

    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
}
else
{
    vector<int> C = sub(B, A);

    putchar('-');
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
}

3、大數 * 小數

//模板A * b
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;
    
    for(int i = 0, t = 0; i < A.size() || t; i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    //去前導0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

string a;
int b;
vector<int> A;
cin >> a >> b;
//逆序
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');

vector<int> C = mul(A, b);
//逆序輸出
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);

4、大數 / 小數

//模板A / b
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;             //餘數
    }
    //C已經是正確結果，但是為了保證加減乘除的一致性和去掉前導0，需要逆序 
    reverse(C.begin(), C.end());
    //去前導0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

string a;
int b;
vector<int> A;
cin >> a >> b;
//逆序
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');

int r;
vector<int> C = div(A, b, r);
//逆序輸出
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
cout << '\n' << r << endl;

四、字首和與差分

1、一維字首和與差分

//一維字首和
//S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
//a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
int n;
int a[N], s[N];
//初始化字首和
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
//求某個區間和
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d", s[r] - s[l-1]);

// 一維差分
//給區間[l, r]中的每個數加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
//假設原陣列a[]為字首和，b[]為a[]陣列差分陣列
//讓差分陣列b[]的某一個+C， a[]的後一段全+c
int n, m;
//a[] 叫 b[]的字首和， b[] 叫 a[] 的差分
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}
//輸入原陣列,同時初始化差分陣列
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    scanf("%d", &a[i]);
    insert(i, i, a[i]);
}
//對一個區間內的數批量+c
while(m--)
{
    int l, r, c;
    scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
    insert(l, r, c);
}
//利用差分陣列求更改後的陣列(差分求字首和)
for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i-1];
for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
//    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i-1] + b[i];
//    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", a[i]);

2、二維字首和與差分

//二維字首和
//S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
//以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣的和為：
//S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
int n, m;
int a[N][N], s[N][N];
//初始化字首和
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        scanf("%d", &a[i][j]);
        s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
    }
//求某個子矩陣的和
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);

//二維差分
//給以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣中的所有元素加上c：
//S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}
//初始化差分矩陣
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        scanf("%d", &a[i][j]);
        insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    }
//對某個子矩陣全+c
while(q--)
{
    int x1, y1, x2, y2, c;
    scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
    insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
//對差分矩陣求字首和，得到原矩陣
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        b[i][j] += b[i][j-1] + b[i-1][j] - b[i-1][j-1];
        printf("%d ", b[i][j]);
    }
    puts("");
}

五、雙指標演算法

//利用i,j的某種規律，把暴力的巢狀迴圈（O(n^2)複雜度）優化為O(n).

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具體問題的邏輯
}

/*常見問題分類：
    (1) 對於一個序列，用兩個指標維護一段區間
    (2) 對於兩個序列，維護某種次序，比如歸併排序中合併兩個有序序列的操作*/

六、位運算

lowbit(x)證明：

//n 二進位制中第k為位是幾
n >> k & 1
    
//lowbit(x) : 返回x的最後一位1
//如: n = 10 = 1010 , 則 lowbit(n) = 10(二進位制) = 2
return x & -x
/*基本應用：
	1、x二進位制中1的個數
	2、樹狀陣列 */
//x二進位制中1的個數
    while(x) x -= lowbit(x), ans++;

七、離散化

1、把所有“大值數字”（實際位置值）存入 alls，因為下標是唯一的，所以在排序的同時要去重；

2、離散化操作：

因為：對alls中的位置值已經排好序，

所以：可以用二分把alls中存的 “ 實際位置值 ” 對映到 “ alls中的下標 ”，並賦值給x

a[x] += C, 其中x滿足alls[x] = 實際位置值

vector<int> alls; // 儲存所有待離散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 將所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重複元素

// 二分求出x對應的離散化的值
int find(int x) // 找到第一個大於等於x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 對映到1, 2, ...n
}

八、區間合併

//將所有存在交集的區間合併
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;
    //按左端點排序
    sort(segs.begin(), segs.end());
    
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for(auto seg : segs)
   		if(ed < seg.first)
        {
            if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
    	else ed = max(ed, seg.second);
    
    if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
    
    segs = res;
}