目錄

• 狀態機模型
  • 1. 演算法分析
  • 2. 典型例題

狀態機模型

1. 演算法分析

    能把不同的狀態之間的關係使用狀態機來表示，就可以使用狀態機模型來處理，不同的狀態之間有先後的時序。

2. 典型例題

acwing1049大盜阿福
題意： 阿福是一名經驗豐富的大盜。趁著月黑風高，阿福打算今晚洗劫一條街上的店鋪。
這條街上一共有 N 家店鋪，每家店中都有一些現金。
阿福事先調查得知，只有當他同時洗劫了兩家相鄰的店鋪時，街上的報警系統才會啟動，然後警察就會蜂擁而至。
作為一向謹慎作案的大盜，阿福不願意冒著被警察追捕的風險行竊。
他想知道，在不驚動警察的情況下，他今晚最多可以得到多少現金？
題解：
記f[i][0]:選擇第i家店鋪，但是不搶劫；f[i][1]:選擇第i家店鋪，進行搶劫
可以得到的狀態機轉移方程為：
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1])
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i]
邊界狀態為f[0][0] = 0, f[0][1] = -inf
程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int const N = 1e5 + 10;
int f[N][2];
int t, n;
int w[N];

int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        /* code */
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; ++i ) scanf("%d", &w[i]);
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 0, f[0][1] = 0xcf;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
        }
        printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
    }
    return 0;
}
 

acwing1057股票買賣IV
題意： 給定一個長度為 N 的陣列，陣列中的第 i 個數字表示一個給定股票在第 i 天的價格。設計一個演算法來計算你所能獲取的最大利潤，你最多可以完成 k 筆交易。
注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。一次買入賣出合為一筆交易。
題解：
0表示無，1表示有，f[i][j][0]表示在處理第i個物品時，進行了j次交易，這時已經沒有貨物了
f[i][j][1]表示在處理第i個物品時，進行了j次交易，這時已經還有貨物
則有：
f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i]);
f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i]);
初始化時：
f[i][0][0]=0,其他不合法
程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, k;
int const N = 1e5 + 10;
int f[N][110][2];
int w[N];
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &w[i]);
    
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    for (int i = 0; i <= n; ++i) f[i][0][0] = 0;


    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= k; ++j)
        {
            f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i]);
            f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i]);
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= k; ++i) res = max(res, f[n][i][0]);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

acwing1058 股票買賣 V
題意： 給定一個長度為 N 的陣列，陣列中的第 i 個數字表示一個給定股票在第 i 天的價格。設計一個演算法計算出最大利潤。在滿足以下約束條件下，你可以儘可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）:
* 你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。
* 賣出股票後，你無法在第二天買入股票 (即冷凍期為 1 天)。
題解：
f[i][0]處理第i次物品時，有貨；f[i][1]處理第i次物品時，無貨第一天；f[i][2]處理第i次物品時，無貨第二天
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1]);
程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int w[N];
int f[N][3];

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);

    f[0][0] = f[0][1] = -INF, f[0][2] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
        f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
        f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1]);
    }

    printf("%d\n", max(f[n][1], f[n][2]));

    return 0;
}