層次分析法

對著課件手打，非自我總結，但屬學習筆記。

• 層次分析法：AHP，建模比賽種最基礎的模型之一，主要用於解決評價類問題。

• 解決評價類問題的三問：

  1、我們評價的目標是什麼？

  2、我們為了達到這個目標有哪些可選的方案？

  3、評價的準則或者說指標是什麼？(題目常常沒有相關的資料和指標，因此需要我們根據背景材料、常識、網上收集到的參考資料進行綜合分析確定最合適的指標。)

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• 對於各項指標的權重，因為受到很多影響因子的干擾，因此採用分而治之的思想，通過兩兩指標之間的比較來推算出權重。

• 但是矩陣種常常出現不一致的現象

• 當矩陣為正互反矩陣且各行各列之間成倍數關係時，矩陣為一致矩陣

  。

• 在層次分析法中，所構造的矩陣均為正互反矩陣，但是不一定為一致矩陣。因此使用判斷矩陣求權重之前，必須要對判斷矩陣進行一致性檢驗。

• 對於一致矩陣，有一個特徵值tr(A)為n，其餘特徵值為0，且秩為1，當特徵值為n時。特徵向量為k[\(\frac{1}{a~11~}\),\(\frac{1}{a~12~}\),……,\(\frac{1}{a~1n~}\)]^T^(k$\neq$0)。

• 當n階正互反矩陣A為一致矩陣時當且僅當最大特徵值λ~max~=n,且當正互反矩陣A非一致時，一定滿足λ~max~>n。

  
  

• 一致性檢驗的步驟：

  • 第一步：計算一致性指標CI=\(\frac{λ~max~—n}{n—1}\)

    
    

  • 第二步：查詢對應的平均隨機一致性指標RI
    

  • 第三步：計算一致性比例CR=\(\frac{CI}{RI}\)，如果CR<0.1，則可認為判斷矩陣的一致性可以接受；否則需要對判斷矩陣進行修改。
    

    CI = (Max_eig - n) / (n-1);
    RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，這裡的RI最多支援 n = 15
    % 這裡n=2時，一定是一致矩陣，所以CI = 0，我們為了避免分母為0，將這裡的第二個元素改為了很接近0的正數
    CR=CI/RI(n);
    disp('一致性指標CI=');disp(CI);
    disp('一致性比例CR=');disp(CR);
    if CR<0.10
        disp('因為CR<0.10，所以該判斷矩陣A的一致性可以接受!');
    else
        disp('注意：CR >= 0.10，因此該判斷矩陣A需要進行修改!');
    end
     
    

• 算術平均法求權重：

  • 第一步：將判斷矩陣按照列歸一化(每一個元素除以其所在列的和)

  • 第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)

  • 第三步：將相加後得到的向量中的每個元素除以n得到權重向量。

    • 假設判斷矩陣A=\(\left[\begin{matrix}a~11~&a~12~&\cdots&a~1n~\\a~21~&a~22~&\cdots&a~2n~\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a~n1~&a~n2~&\cdots&a~nn~\end{matrix}\right]\)

      那麼算術平均法求得的權重向量w~i~=\(\frac{1}{n}\)\(\sum_{j=1}^n \frac{a~ij~}{sum_{k=1}^na~kj~}\)(i=1,2,……,n)
      

  • [n,n]=size(A)
    Sum_A=sum(A);
    SUM_A=repmat(Sum_A,n,1);
    Stand_A=A./SUM_A;
    disp('算術平均法求權重的結果為：');
    disp(sum(Stand_A,2)./n)
    

    
    

• 幾何平均法求權重：

  • 第一步：將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量。

  • 第二步：將新的向量的每個分量開n次方。

  • 第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量。

    • 假設判斷矩陣A=\(\left[\begin{matrix}a~11~&a~12~&\cdots&a~1n~\\a~21~&a~22~&\cdots&a~2n~\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a~n1~&a~n2~&\cdots&a~nn~\end{matrix}\right]\)

      那麼幾何平均法求得的權重向量(這個實在是寫不出來)。

  
  

  [n,n]=size(A);
  Prduct_A = prod(A,2);
  Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
  disp('幾何平均法求權重的結果為：');
  disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
  

  
  

• 特徵值法求權重：

  • 第一步：求出矩陣A的最大特徵值以及其對應的特徵向量。
  • 第二步：對求出的特徵向量進行歸一化即可得到我們的權重。

[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特徵值法求權重的結果為：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

• 善於利用EXCEL來減輕工作量

• 層次分析法：是在充分研究了人類思維過程的基礎上提出來的，它較合理地解決了定性問題定量化的處理過程。AHP的主要特點是通過建立遞階層次結構，把人類的判斷轉化到若干因素兩兩之間重要度的比較上，從而把難於量化的定性判斷轉化為可操作的重要度的比較上面。在許多情況下，決策者可以直接使用AHP進行決策，極大地提高了決策的有效性、可靠性和可行性，但其本質是一種思維方式，它把複雜問題分解成多個組成因素，又將這些因素按支配關係分別形成遞階層次結構，通過兩兩比較的方法確定決策方案相對重要度的總排序。整個過程體現了人類決策思維的基本特徵，即分解、判斷、綜合，克服了其他方法迴避決策者主觀判斷的缺點。

  
  
  

總結：

• 層次分析法的第一步：分析系統中各因素之間的關係，建立系統的遞階層次結構。

• 層次分析法第二步：兩兩比較構造判斷矩陣。

• 層次分析法第三步：由判斷矩陣計算被比較元素對於該準則的相對權重，並進行一致性檢驗（檢驗通過權重才能用）。

  • 清風建議：強烈建議大家在比賽時三種方法都使用：以往的論文利用層次分析法解決實際問題時，都是採用其中某一種方法求權重，而不同的計算方法可能會導致結果有所偏差。為了保證結果的穩健性，本文采用了三種方法分別求出了權重後計算平均值，再根據得到的權重矩陣計算各方案的得分，並進行排序和綜合分析，這樣避免了採用單一方法所產生的偏差，得出的結論將更全面、更有效。

    注：（1）一致矩陣不需要進行一致性檢驗，只有非一致矩陣的判斷矩陣才需要進行一致性檢驗；

    ​ （2）在論文寫作中，應該先進行一致性檢驗，通過檢驗後再計算

    權重，視訊中講解的只是為了順應計算過程。

• 層次分析法第四步：根據權重矩陣計算的分，進行排序。

• 層次分析法的侷限性：

  • 評價的決策層不能太多，太多的話n會很大，判斷矩陣和一致矩陣差異可能會很大。

    n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
    RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

    有時候根據需要可對RI表的1，2項進行修改。