珂朵莉樹
阿新 • • 發佈：2020-08-18
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別看了，開始正題
一、什麼是珂朵莉樹
珂朵莉樹，又稱Old Driver Tree(ODT)（老司機樹）。
是一種基於std::set的暴力資料結構。
二、什麼時候用珂朵莉樹
使一整段區間內的東西變得一樣，資料隨機。
以下以CF896C為板子來介紹珂朵莉樹。
n 個數， m 次操作 (n,m<=10^5) 。
操作：
1.區間加 2.區間賦值
3.區間第k小 4.求區間冪次和
資料隨機，時限2s。
三、珂朵莉樹的初始化
這道題裡，這樣定義珂朵莉樹的節點：
struct node { int l,r; //範圍 mutable LL v; //數值 node(int L, int R=-1, LL V=0):l(L), r(R), v(V) {} bool operator<(const node& o) const //過載運算子 { return l < o.l; } };
表示【l,r】這一個區間中所有的數都是v。
四、珂朵莉樹的核心操作：split
實際很簡單，一個集合中，有一部分需要修改，而另一部分不需要修改，就把集合拆開，拆成兩部分。（要修改的就修改，不修改的就算了)
#define IT set<node>::iterator //太長了 IT split(int pos) { IT it = s.lower_bound(node(pos)); //找到首個不小於pos的set if (it != s.end() && it->l == pos) //無需，直接返回 return it; --it; //否則一定在前一個區間中 int L = it->l, R = it->r; //【l,r】就是要分裂的區間 LL V = it->v; //取出值 s.erase(it); //刪除原集合 s.insert(node(L, pos-1, V)); //構建前半段的新結合 return s.insert(node(pos, R, V)).first; //構建後半段的新集合並且返回地址 }
五、珂朵莉樹的推平操作：assign_val
要是隻有split還不得複雜度爆炸？我們需要assign操作迅速減少set的數量。
void assign_val(int l, int r, LL val)
{
IT itr = split(r+1),itl = split(l); //求出要被攤平區間的收尾地址
s.erase(itl, itr); //刪除原集合
s.insert(node(l, r, val)); //新增新集合
}
需要注意一個細節，split(r+1)要在spilt(l)之前
珂朵莉樹的複雜度是由assign_val保證的。
由於資料隨機，有1/4的操作為assign。
set的大小快速下降，最終趨於logn ，使得這種看似暴力無比的資料結構複雜度接近mlogn
六、其他操作（一個比一個暴力）
1.區間加
void add(int l, int r, LL val)
{
IT itr = split(r+1), itl = split(l);
for (; itl != itr; ++itl)
itl->v += val;
}
反正就是找到對應集合暴力一加（有點像分塊）
2.區間第k小
LL rank(int l, int r, int k)
{
vector<pair<LL, int> > vp;
IT itr = split(r+1),itl = split(l);
vp.clear();
for (; itl != itr; ++itl)
vp.push_back(pair<LL,int>(itl->v, itl->r - itl->l + 1));
sort(vp.begin(), vp.end());
for (vector<pair<LL,int> >::iterator it=vp.begin();it!=vp.end();++it)
{
k -= it->second;
if (k <= 0)
return it->first;
}
}
把元素取出，暴力排序，暴力查詢第k小，結束
3.區間冪次和
LL pown(LL a, LL b, LL mod)
{
LL res = 1;
LL ans = a % mod;
while (b)
{
if (b&1)
res = res * ans % mod;
ans = ans * ans % mod;
b>>=1;
}
return res;
}
LL sum(int l, int r, int ex, int mod)
{
IT itr = split(r+1),itl = split(l);
LL res = 0;
for (; itl != itr; ++itl)
res = (res + (LL)(itl->r - itl->l + 1) * pown(itl->v, LL(ex), LL(mod))) % mod;
return res;
}
暴力找到元素，快速冪，加入答案，結束（記得不要忘乘上集合裡的個數）！！！
七、完整程式(已upd)
沒什麼可說的
上程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define IT set<node>::iterator
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD7 = 1e9 + 7;
const int MOD9 = 1e9 + 9;
const int imax_n = 1e5 + 7;
struct node
{
int l,r;
mutable LL v;
node(int L, int R=-1, LL V=0):l(L), r(R), v(V) {}
bool operator<(const node& o) const
{
return l < o.l;
}
};
LL pown(LL a, LL b, LL mod)
{
LL res = 1;
LL ans = a % mod;
while (b)
{
if (b&1)
res = res * ans % mod;
ans = ans * ans % mod;
b>>=1;
}
return res;
}
set<node> s;
IT split(int pos)
{
IT it = s.lower_bound(node(pos));
if (it != s.end() && it->l == pos)
return it;
--it;
int L = it->l, R = it->r;
LL V = it->v;
s.erase(it);
s.insert(node(L, pos-1, V));
return s.insert(node(pos, R, V)).first;
}
void add(int l, int r, LL val)
{
IT itr = split(r+1),itl = split(l);
for (; itl != itr; ++itl)
itl->v += val;
}
void assign_val(int l, int r, LL val)
{
IT itr = split(r+1),itl = split(l);
s.erase(itl, itr);
s.insert(node(l, r, val));
}
LL ranks(int l, int r, int k)
{
vector<pair<LL, int> > vp;
IT itr = split(r+1),itl = split(l);
vp.clear();
for (; itl != itr; ++itl)
vp.push_back(pair<LL,int>(itl->v, itl->r - itl->l + 1));
sort(vp.begin(), vp.end());
for (vector<pair<LL,int> >::iterator it=vp.begin();it!=vp.end();++it)
{
k -= it->second;
if (k <= 0)
return it->first;
}
}
LL sum(int l, int r, int ex, int mod)
{
IT itr = split(r+1),itl = split(l);
LL res = 0;
for (; itl != itr; ++itl)
res = (res + (LL)(itl->r - itl->l + 1) * pown(itl->v, LL(ex), LL(mod))) % mod;
return res;
}
int n, m;
LL seed, vmax;
LL rd()
{
LL ret = seed;
seed = (seed * 7 + 13) % MOD7;
return ret;
}
LL a[imax_n];
int main()
{
cin>>n>>m>>seed>>vmax;
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
a[i] = (rd() % vmax) + 1;
s.insert(node(i,i,a[i]));
}
s.insert(node(n+1, n+1, 0));
int lines = 0;
for (int i =1; i <= m; ++i)
{
int op = int(rd() % 4) + 1;
int l = int(rd() % n) + 1;
int r = int(rd() % n) + 1;
if (l > r)
swap(l,r);
int x, y;
if (op == 3)
x = int(rd() % (r-l+1)) + 1;
else
x = int(rd() % vmax) +1;
if (op == 4)
y = int(rd() % vmax) + 1;
if (op == 1)
add(l, r, LL(x));
else if (op == 2)
assign_val(l, r, LL(x));
else if (op == 3)
cout<<ranks(l,r,x)<<endl;
else
cout<<sum(l,r,x,y)<<endl;
}
return 0;
}