積性函式和篩法
定義
若函式 \(f(n)\) 滿足 \(f(1)=1\) 且 \(\forall x,y \in {\Bbb{N}}_{+},{\rm{gcd}}(x,y)=1\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\) ，則 \(f\) 為積性函式。
若函式 \(f(n)\) 滿足 \(f(1)=1\) 且 \(\forall x,y \in {\Bbb{N}}_{+}\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\) ，則 \(f\) 為完全積性函式。
性質
比較重要的有：若 \(f,g\) 為積性函式，則滿足
\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]
的函式 \(h\)
函式 \(h\) 稱作 \(f,g\) 的Dirichlet卷積，記作 \(f*g\) 。
例子
單位函式
\[\epsilon(n)=[n=1] \]
有：
\[\epsilon=\mu*{\rm{I}} \iff \epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d) \]
這個式子尤其常用。
任何函式卷 \(\epsilon\) 都為其本身。
恆等函式
\[{\rm{id}}_k(n)=n^k \]
一般用 \({\rm{id}}\) 表示 \({\rm{id}}_1\) 。
常數函式
\[{\rm{I}}(n)=1 \]
在杜教篩中有用到。
除數函式
\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k \]
一般 \(\sigma_0\) 記作 \({\rm{d}}\) ，\(\sigma_1\) 記作 \(\sigma\) 。
對於 \(\sigma\) ，有：
\[\sigma={\rm{id}}*{\rm{I}} \iff \sigma(n)=\sum_{d|n}d \]
線性篩 \({\rm{d}}\)
設 \(n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\) ，則根據乘法原理有：
\[{\rm{d}}(n)=\prod_{i=1}^m(c_i+1) \]
- 對於質數 \(p\) ，有 \({\rm{d}}(p)=2\) 。
- 對於 \(a,b\) 滿足 \(a\bot b\) ，有 \({\rm{d}}(ab)={\rm{d}}(a){\rm{d}}(b)\)。
- 對於質數 \(p\) 與合數 \(a\) 滿足 \(p|a\) ，設 \(c\) 為 \(p\) 在 \(pa\) 中的次數，有 \({\rm{d}}(pa)={\rm{d}}(a)\frac{c+1}{c}\) 。
於是就可以線性篩了：
\(num_i\) 記錄 \(i\) 的最小質因子的次數。
inline void sieve()
{
d[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i)
{
if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,d[i]=2,num[i]=1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
{
flag[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j])
{
num[i*prime[j]]=1;
d[i*prime[j]]=d[i]*2;
}
else
{
num[i*prime[j]]=num[i]+1;
d[i*prime[j]]=d[i]/num[i*prime[j]]*(num[i*prime[j]]+1);
break;
}
}
}
}
線性篩 \(\sigma\)
由乘法原理得：
\[\sigma(n)=\prod_{i=1}^m\sum_{j=0}^{c_i}p_i^j \]
令 \(f\) 記錄約數和，\(g\) 記錄最小質因子 \(p\) 的 \(\sum_{i=0}^{c}p^i\) 。則有：
- 對於質數 \(p\) ，有 \(f(p)=2,g(n)=1+p\) 。
- 對於 \(a,b\) 滿足 \(a \bot b\) ，且 \(ab\) 的最小質因子為 \(p\) ，有 \(f(ab)=f(a)f(b),g(ab)=\sum_{i=0}^{c}p^i\) 。
- 對於質數 \(p\) 和合數 \(a\) 且 \(p\) 是 \(a\) 的最小質因子，有 \(g(pa)=g(a)\times p+1,f(pa)=f(a)\frac{g(pa)}{g(a)}\)
inline void sieve()
{
f[1]=g[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i)
{
if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,f[i]=2,g[i]=1+i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
{
flag[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j])
{
f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
g[i*prime[j]]=1+prime[j];
}
else
{
g[i*prime[j]]=g[i]*prime[j]+1;
f[i*prime[j]]=f[i]/g[i]*g[i*prime[j]];
break;
}
}
}
}
尤拉函式
\[\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[i\bot n] \]
有：
\[\varphi * {\rm{I}}={\rm{id}} \]
證明：
因為 \(\varphi\) 是積性函式，所以只需要證明 \(n=p^c\) 的情況，即證明：
\[(\varphi*{\rm{I}})(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)={\rm{id}}(n) \]
因為 \(n=p^c\) 所以 \(d=1,p,p^2,p^3 \cdots,p^c\) ，將上式改為列舉 \(p\) 的次數：
\[\begin{align} \sum_{d|n}\varphi(d)&=\sum_{i=0}^c\varphi(p^i)\\ &=1+p^0(p-1)+p^1(p-1)+\cdots+p^{c-1}(p-1)\\ &=p^c\\ &={\rm{id}}(n) \end{align} \]
上面用到了尤拉函式的性質： \(\varphi(p^c)=p^{c-1}(p-1)\) 。
\(\varphi*{\rm{I}}={\rm{id}}\) 得證。
線性篩 \(\varphi\)
- 對於質數 \(p\) ，有 \(\varphi(p)=p-1\) 。
- 對於 \(a,b\) 滿足 \(a\bot b\) ，有 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) 。
- 對於質數 \(p\) 和數 \(a\) 滿足 \(p|a\) ，有 \(\varphi(pa)=\varphi(a)\times p\) 。
對於第三種情況，證明如下：
因為 \(p|a\) ，所以 \(a\) 包含了所有 \(pa\) 的質因子，則有：
\[\begin{align} \varphi(pa)&=p\times a\prod_{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}\\ &=p\times\varphi(a) \end{align} \]
證畢。
inline void sieve()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++)
{
flag[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
莫比烏斯函式
\[\mu(n)=\begin{cases}1 & n=1\\ 0 & \exist d>1:d^2|n \\ (-1)^{\omega(n)} & \text{otherwise}\end{cases} \]
其中 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 不同質因子個數。
有：
\[\sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n) \iff \epsilon=\mu*{\rm{I}} \]
證明：
令 \(n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i},n'=\prod_{i=1}^mp_i\) ，則：
\[\begin{align} \sum_{d|n}\mu(d)&=\sum_{d|n'}\mu(d)\\ &=\sum_{i=0}^m{m \choose i}\times 1\times (-1)^i\\ &=(1+(-1))^k\\ &=\begin{cases}1 & k=0 \\ 0 & k \not =0\end{cases}\\ &=\begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n \not =1\end{cases}\\ &=\epsilon(n) \end{align} \]
這同時也證明了 \(\epsilon=\mu*{\rm{I}}\) 。
證畢。
與尤拉函式結合，有：
\[\varphi=\mu*{\rm{id}} \iff \varphi(n)=\sum_{d|n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \]
證明：
\[\varphi*{\rm{I}}={\rm{id}} \iff \varphi*{\rm{I}}*\mu={\rm{id}}*\mu \iff \varphi=\mu*{\rm{id}} \]
上面用到了 \(\mu*{\rm{I}}=\epsilon\) 的結論。
證畢。
反演結論
\[[{\rm{gcd}}(i,j)=1] \iff \sum_{d|i,d|j}\mu(d) \]
線性篩 \(\mu\)
- 對於質數 \(p\) ，有 \(\mu(p)=-1\) 。
- 對於 \(a,b\) 滿足 \(a\bot b\) ，有 \(\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)\) 。
- 對於質數 \(p\) 和整數 \(a\) 滿足 \(p|a\) ，有 \(\mu(pa)=0\) 。
inline void sieve()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i)
{
if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
{
flag[i*prime[j]]=true;
if(!(i%prime[j])) break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
參考資料：