目錄

• 積性函式
  • 定義
  • 性質
  • 常見積性函式
• 莫比烏斯函式
  • 定義
  • 性質
  • 補充結論
  • 線性篩求莫比烏斯函式
• 狄利克雷(Dirichlet)卷積
  • 性質
  • 關於單位元 $e$
  • 除數函式與冪函式
  • 尤拉函式與恆等函式
• 寫在最後

積性函式

定義

若 \(\gcd(x,y) = 1\) 且 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，則 \(f(n)\) 為積性函式。

性質

若 \(f(x)\)，\(g(x)\)均為積性函式，則以下函式也為積性函式：

\[\begin{aligned} & h(x) = f(x^p)\\ & h(x) = f^p(x)\\ & h(x) = f(x)g(x)\\ & h(x) = \sum_{d\mid x} f(d)g(\dfrac{x}{d}) \end{aligned}\]

常見積性函式

• 單位函式 \(e(n) = [n = 1]\)。
• 冪函式 \(\operatorname{Id}_{k}(n) = n^k\)， \(\operatorname{id}_1(n)\) 通常簡記為\(\operatorname{id}(n)\)。
• 常數函式 \(1(n) = 1\)。
• 因數個數 \(\operatorname{d}(n) = \sum\limits_{d\mid n} 1\)。
• 除數函式 \(\sigma_{k}(n) = \sum\limits_{d\mid n} d^k\)。
  \(k=1\) 時為因數和函式，通常簡記為 \(\sigma(n)\)。
  \(k=0\)
  時為因數個數函式 \(\sigma_{0}(n)\)。
• 尤拉函式 \(\varphi(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} [\gcd(i,n) = 1]\)。
• 莫比烏斯函式 \(\mu(n) = \begin{cases}1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{為}\ n\ \text{的本質不同質因子個數} \end{cases}\)

不是很懂上面寫的什麼玩意？
不用深究，有個印象繼續往下看就好。

莫比烏斯函式

定義

\(\mu\) 為莫比烏斯函式，定義為

\[\mu(n) = \begin{cases} 1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{為}\ n\ \text{的本質不同質因子個數} \end{cases}\]

解釋

令 \(n = \prod\limits_{i=1}^{k} p_{i}^{c_i}\)，其中\(p_i\)為質因子，\(c_i\ge 1\)。

1. \(n=1\)時，\(\mu (n) = 1\)。
2. \(n\not ={1}\)時 ，
   • \(\exist i\in [1,k], c_i > 1\) 時，\(\mu (n) = 0\)。
     當某質因子出現次數大於\(1\)時，\(\mu (n) = 0\)。
   • \(\forall i\in [1,k], c_i = 1\) 時，\(\mu (n) = (-1)^k\)。
     當每個質因子只出現一次時，即\(n = \prod\limits_{i=1}^{k}p_i\)，\(\{p_i\}\)中元素唯一。
     \(\mu (n) = (-1)^k\)，此處\(k\)為質因子的種類數。

性質

莫比烏斯函式是積性函式，且具有以下性質

\[\large \sum_{d\mid n} \mu (d) = [n=1] \]

證明，設 \(n = \prod\limits_{i=1}^{k}{p_i^{c_i}}, n' = \prod\limits_{i=1}^{k}{p_i}\)。

• 根據莫比烏斯函式定義，則有：\(\sum\limits_{d\mid n}{\mu(d)} = \sum\limits_{d\mid n'}{\mu(d)}\)。
• 若 \(n'\) 的某因子 \(d\)，有 \(\mu (d) = (-1)^i\)，則它由 \(i\) 個 本質不同的質因子組成。
  由於質因子總數為 \(k\)，滿足上式的因子數為 \(C_{k}^{i}\)。
• 對於原求和式，轉為列舉 \(\mu(d)\) 的值。
  則 \(\sum\limits_{d\mid n'}{\mu(d)} = \sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i} \times (-1)^i} = \sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i} \times (-1)^i\times 1^{k-i}}\)
  根據二項式定理，上式 \(= (1+(-1))^k\)，
  易知該式在 \(k=0\)，即 \(n=0\) 時為 \(1\)，否則為 \(0\)。

補充結論

反演結論:

\[[\gcd(i,j) = 1] \iff \sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)} {\mu (d)} \]

證明 1：
設 \(n = \gcd(i,j)\)，則右\(= \sum\limits_{d\mid n} {\mu (d)} = [n = 1] = [\gcd(i,j) = 1]=\) 左。

證明 2：
暴力展開：\([\gcd(i,j) = 1] = e(\gcd(i,j)) = \sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d)\)

線性篩求莫比烏斯函式

\(\mu\) 為積性函式，因此可以線性篩莫比烏斯函式。

int cnt, Mobius[kMaxn], Prime[kMaxn];
bool vis[kMaxn];

void GetMobius() {
  Mobius[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i ++) {
    if (!vis[i]) Mobius[i] = - 1, Prime[++ cnt] = i;
    for (int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= n; j ++) {
      vis[i * Prime[j]] = true;
      if (i % Prime[j] == 0) break;
      Mobius[i * Prime[j]] = - Mobius[i];
    }
  }
}

狄利克雷(Dirichlet)卷積

建議閱讀 演算法學習筆記(35): 狄利克雷卷積 By: Pecco。

定義兩個數論函式 \(f,g\) 的狄利克雷卷積為

\[\large(f\ast g) (n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\dfrac{n}{d}) \]

性質

1. 顯然滿足 交換律，結合律，分配律。
   • \(f \ast g = g \ast f\)
   • \((f \ast g) \ast h = f\ast (g\ast h)\)
   • \(f\ast (g+h) = f\ast g + f\ast h\)
2. \(e\) 為狄利克雷卷積的單位元，有\((f\ast e)(n) = f(n)\)。
3. 若 \(f,g\) 為積性函式，則 \(f\ast g\) 為積性函式。

關於單位元 \(e\)

有：

\[e = \mu \ast 1=\sum\limits_{d\mid n} \mu (d) \]

證明

\[\begin{aligned} (f\ast e)(n) = \sum_{d\mid n} f(d)e(\dfrac{n}{d}) = \sum_{d\mid n} f(d)[\dfrac{n}{d} = 1] \end{aligned}\]

• 對於\([\dfrac{n}{d} = 1]\)，當且僅當 \(\dfrac{n}{d}=1\)，即 \(d=n\) 時為 \(1\)，否則為\(0\)。
• 則當 \(d=n\) 時，\(f(d)[\dfrac{n}{d}=1] = f(n)\)。
  當 \(d\not ={n}\) 時，\(f(d)[\dfrac{n}{d}=1] = 0\)。

綜上，\((f\ast e)(n) = \sum\limits_{d\mid n} f(d)[\dfrac{n}{d} = 1] = f(n)\)，滿足單位元的性質。
則 \(e = \mu \ast 1\) 成立。

除數函式與冪函式

冪函式 \(\operatorname{Id}_{k}(n) = n^k\)。
除數函式 \(\sigma_{k}(n) = \sum\limits_{d\mid n} d^k\)。

顯然有：

\[(\operatorname{Id}_k\ast 1)(n) = \sum_{d\mid n} \operatorname{Id_k(d)} = \sum_{d\mid n} d^k = \sigma_k \]

當 \(k=0\) 時，\(\operatorname{Id_0}=1\)，\(\sigma_0\) 為因數個數函式，有：

\[(1\ast 1)(n) = \sum_{d\mid n}1 = \sigma_0 \]

尤拉函式與恆等函式

\[\begin{aligned} \varphi \ast 1 =& \operatorname{Id}\\ \varphi =& \operatorname{Id}\ast \mu \end{aligned}\]

對於一式，當 \(n=p^m\) 時（\(p\) 為質數），有：

\[(\varphi \ast 1)(p^m) = \sum_{d\mid n}\varphi(d) = \varphi(1) +\sum_{i=1}^{m}\varphi(p^i) = 1 +\sum_{i=1}^{m}(p^i-p^{i-1}) = p^m \]

\(p^i\) 的因子有 \(p^{i-1}\) 個，為 \(1\sim p^{i-1}\)，故 \(\varphi(p^i) = p^i-p^{i-1}\)。

又 \((\varphi \ast 1)(n)\) 為積性函式，則對於任意正整數 \(n\)，有：

\[(\varphi \ast 1)(n) = (\varphi \ast 1)(\prod p^m) = \prod(\varphi \ast 1)(p^m) = \prod p^m = n \]

得證。

對於 2 式，在 1 式基礎上兩側同時 \(\ast \mu\) 即得。
左側變為 \(\varphi \ast 1\ast \mu = \varphi \ast e = \varphi\)。

寫在最後

演算法學習筆記(35): 狄利克雷卷積 By: Pecco

希望人沒事