P1 三角魔法

描述
小棲必須在一個三角形中才能施展魔法，現在他知道自己的座標和三個點的座標，他想知道他能否施展魔法

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• 點在邊上也屬於三角形內
• −109<=x,y<=109-10^{9}<=x, y<=10^{9}−109<=x,y<=109

解：

• 判斷是否共線
• 判斷是否在三角形內

補充知識(好久之前學的，早忘了)：

1. 判斷是否共線
   對於三個點(x0,y0)(x0, y0)(x0,y0)，(x1,y1)(x1, y1)(x1,y1)，(x2,y2)(x2, y2)(x2,y2)，如果滿足(y3−y1)(x2−x1)−(y2−y1)(x3−x1)=0(y 3-y 1)(x 2-x 1)-(y 2-y 1)(x 3-x 1)=0(y3−y1)(x2−x1)−(y2−y1)(x3−x1)=0， 那麼這三點共線。

2. 判斷是否在三角形內：
   判斷PPP是否在A，B,CA，B, CA，B,C組成的三角形內。 如果在三角形內，則：
   

   AP=u×(AB)+v×ACA P=u \times(A B)+v\times A CAP=u×(AB)+v×AC
   滿足0≤u,v≤10 \leq u,v \leq 10≤u,v≤1， 且u+v≤1u+v\leq 1u+v≤1。

   v=x2y0−y2x0x1y0−y1x0v=\frac{x_{2} y_{0}-y_{2} x_{0}}{x_{1} y_{0}-y_{1} x_{0}}v=x1​y0​−y1​x0​x2​y0​−y2​x0​​
   u=x2y1−y2x1x0y1−y0x1u=\frac{x_{2} y_{1}-y_{2} x_{1}}{x_{0} y_{1}-y_{0} x_{1}}u=x0​y1​−y0​x1​x2​y1​−y2​x1​​
   

   其中,AP=(x2,y2)AP=(x2, y2)AP=(x2,y2),AB=(x0,y0)AB=(x0,y0)AB=(x0,y0),AC=(x1,y1)AC=(x1,y1)AC=(x1,y1)

class Solution:
    """
    @param triangle: Coordinates of three points
    @param point: Xiaoqi's coordinates
    @return: Judge whether you can cast magic
    """
    def castMagic(self, triangle, point):
        # write your code here
        return "Yes" if self.solve(triangle, point) else "No"

    def solve(self, triangle, point):
        A, B, C = triangle
        P = point
        if self.isline(A, B, C): return False
        def vec(P, X):
            p0, p1 = P
            x0, x1 = X
            return [p0 - x0, p1 - x1]
        AP, AB, AC = vec(A, P), vec(A, B), vec(A, C)
        x0, y0 = AB
        x1, y1 = AC
        x2, y2 = AP
        div = x1 * y0 - y1 * x0
        u = (x2 * y0 - y2 * x0) / div
        v = -(x2 * y1 - y2 * x1) / div
        return 0 <= u <= 1 and 0 <= v <= 1 and u + v <= 1

    def isline(self, A, B, C):
        x1, y1 = A
        x2, y2 = B
        x3, y3 = C
        return (y3 - y1) * (x2 - x1) == (y2 - y1) * (x3 - x1)

P2 區間異或

描述
有一個數組num，現在定義區間對的和等於：左區間的最大值加右區間的最小值 由於小棲特別能突發奇想，他突然想知道多個區間對和的異或和是多少

4<=len(4<=\operatorname{len}(4<=len(num)<=50000)<=50000)<=50000
0<=num[i]<=100000000<=\operatorname{num}[i]<=100000000<=num[i]<=10000000
1<=len(1<=\operatorname{len}(1<=len(ask)<=100000)<=100000)<=100000
len(ask[0])=4,s\operatorname{len}(a s k[0])=4, slen(ask[0])=4,s,分別表示 l1,r1,l2,r2
num中視作下標從1開始，而不是0
左右區間可能重合

解：

1. ST表 貼一下 秒過舒服

from math import log
class ST:
    def __init__(self, arr):
        n = len(arr)
        K = int(log(n, 2))
        self.Ma = [[0]*(K+1) for _ in range(n)]
        self.Mi = [[0]*(K+1) for _ in range(n)]
        for k in range(K+1):
            for i in range(n):
                if k == 0:
                    self.Ma[i][k] = arr[i]
                    self.Mi[i][k] = arr[i]
                else:
                    if i + (1 << (k - 1)) >= n:
                        continue
                    self.Ma[i][k] = max(self.Ma[i][k-1], self.Ma[i+(1 << (k-1))][k-1])
                    self.Mi[i][k] = min(self.Mi[i][k-1], self.Mi[i+(1 << (k-1))][k-1])

    def query_max(self, L, R):
        k = int(log(R - L + 1, 2))
        return max(self.Ma[L][k], self.Ma[R - (1 << k) + 1][k])

    def query_min(self, L, R):
        k = int(log(R - L + 1, 2))
        return min(self.Mi[L][k], self.Mi[R - (1 << k) + 1][k])

class Solution:
    """
    @param num: array of num
    @param ask: Interval pairs
    @return: return the sum of xor
    """
    def Intervalxor(self, num, ask):
        # write your code here
        ret = 0
        st = ST(num)
        for L0, R0, L1, R1 in ask:
            ret ^= st.query_min(L1 - 1, R1 - 1) + st.query_max(L0 - 1, R0 - 1)
        return ret

P3 五字迴文

描述
小棲最近很喜歡迴文串，由於小棲的幸運數字是5，他想知道形似“abcba"的迴文串在他給定的字串中的數量

s. length<=106<=10^{6}<=106
字串s只包含小寫字母

解：

1. 打卡

class Solution:
    """
    @param s: The given string
    @return: return the number of Five-character palindrome
    """
    def Fivecharacterpalindrome(self, s):
        # write your code here
        n = len(s)
        def f(i):
            if i + 4 >= n: return 0
            if s[i] == s[i+4] and s[i+1] == s[i+3] and len(set(s[i:i+5])) == 3:
                return 1
            return 0
        return 0 if not s else sum(f(i) for i in range(n))

P4 小棲的金字塔

描述
小棲有一個金字塔，每一層都有編號.
​

小棲可以在不同點間移動，假設小棲現在在(x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​),他能夠移動到的下一個點滿足x2>=x1&&y2>=y1現在小棲呆在(k,k)(k,k)(k,k)處，由於我們不能確定小棲現在在哪兒，所以你需要求出所有點(k,k)(k,k)(k,k)到達(n,n)(n,n)(n,n)的方案數的和。

1<=k<=n<=1071<=k<=n<=10^{7}1<=k<=n<=107
由於方案數很大，請對方案數取模1e9+7

解：

1. 用dp算一下值， 寫完就知道超時了。 看到1,2,6,22,90,394,1806,8558,415861, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, 415861,2,6,22,90,394,1806,8558,41586，網上找了下才知道是施羅德數。
2. 那我們就站在巨人的肩膀上把:)

下圖為 n=1,2,3n=1,2,3 時的施羅德路徑
​
施羅德數公式為:
Si=Si−1+∑i−1j=0SjSn−j−1S_{i}=S_{i-1}+\sum_{j=0}^{i-1} S_{j} S_{n-j-1}Si​=Si−1​+j=0∑i−1​Sj​Sn−j−1​

這個公式n比較小大概5次冪還行。題目是要7次冪， 有另外一個公式：
(i+1)Fi=(6n−3)Fi−1−(i−2)Fi−2(i+1) F_{i}=(6 n-3) F_{i-1}-(i-2) F_{i-2}(i+1)Fi​=(6n−3)Fi−1​−(i−2)Fi−2​
其中，FiF_iFi​滿足2Fi=Si,i⩾12 F_{i}=S_{i}, \quad i \geqslant 12Fi​=Si​,i⩾1。
到這裡，還不能做出來， 還要取模， 好像用刀了Lucas公式什麼的，沒咋看，程式碼抄過來就好了。 反正， 以後它就是我的模板了。

class Solution:
    """
    @param n: The number of pyramid levels n
    @param k: Possible coordinates k
    @return: Find the sum of the number of plans
    """
    def pyramid(self, n, k):
        #
        k = [n - x for x in k]
        n = max(k)
        A = [1, 1] + [0] * (n - 1)
        mod = 10 ** 9 + 7
        def qmi (a, k):
            ret = 1
            while k:
                if k & 1: ret = (ret * a) % mod
                k >>= 1
                a = (a * a) % mod
            return ret

        for i in range(2, n+1):
            A[i] = (((6 * i - 3) * A[i - 1] - (i - 2) * A[i - 2]) % mod) * (qmi(i + 1, mod - 2) % mod)
            A[i] = A[i] % mod
        ret = 0
        for x in k:
            if x == 0:
                ret = (ret + A[0]) % mod
            else:
                ret = (ret + 2*A[x]) % mod
        return ret % mod