完全揹包：每一種物品可以選任意多次的揹包問題。

經過分析，可以在01揹包的程式碼基礎上，增加一層迴圈，有以下暴力程式碼\(O(n^3)\)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    //f[0][1 ~ m] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            int k = j / v[i];
            for(int t = 1; t <= k; t ++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - t * v[i]] + t * w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}
 

時間上需要優化：
由上圖：
\(f(i, j) = max(f(i - 1, j), f(i - 1, j - v[i]), f(i - 1, j - 2 * v[i]), ... , f(i - 1, j - k * v[i]), ...)\)
做一個變數代換，將上式中的j換成\(j - v[i]\)
得\(f(i, j - v[i]) = max(f(i - 1, j - v[i]), f(i - 1, j - 2 * v[i]) ,...)\)
發現第一個式子中\(max(f(i - 1, j), 後面一坨)\)中 \(後面一坨 = max(f(i - 1, j), f(i - 1, j - v[i]), ...) = max(f(i - 1, j - v[i]), f(i - 1, j - 2 * v[i]), ...) + w[i] = f(i, j - v[i]) + w[i]\)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    //f[0][1 ~ m] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
           f[i][j] = f[i - 1][j];
           if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}
 

最後通過程式碼等價變形的方法，把空間優化成1維

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); // 此處正好需要的是第i層的f[j - v[i]],所以第二重迴圈不需要倒著來
    
    cout << f[m];
    
    return 0;
}