\(\text{Solution}\)

我們考慮每個 \(a_i\) 對之後的數的影響（注意這裡的影響是影響次數）。

圖片轉自 protecteyesight 。

令這個矩陣為 \(b\)，對於 \(b[i][j]\)，\(b[i-1][j]\) 表示的是上一輪的 \(a_j\)，\(b[i][j-1]\) 是這一輪已經求出的 \(\sum_{k=1}^{j-1} a_k\)。

所以得出式子：\(b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]\)。

法一

我們單純地看 \(a_1\)。很明顯矩陣關於 \(a_1\) 項的係數是一個向左斜的楊輝三角（其實由遞推式即可得出），這個係數用組合數表示就是 \(\text C(m+i-2,i-1)\ (1\le i\le n)\)

同理 \(a_j\) 都有各自的楊輝三角，只是相較於 \(a_1\) 的規模小了一點。

我們可以列舉組合數的 \(i\) ，如果為奇就異或上去。（當 \(n\ \&\ m=m,\text C(n,m)\) 為奇）

法二

我們將 \(b\) 陣列模 \(2\) 來運算（相當於又轉成異或）。

你會發現 \(b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]=b[i-2][j]+b[i][j-2]=b[i-2^k][j]+b[i][j-2^k]\)。

放到楊輝三角上：

你可以把 \(b[i][j]\) 當成最頂上的 \(1\)，由下面兩個合併而來，下面又由再下面而來。對於異或，值為偶數的項是沒有貢獻的。（因為初始有貢獻的兩層是奇數項，兩項有貢獻的重合肯定無貢獻，即奇+奇=偶。一項有貢獻，一項無貢獻，肯定有貢獻，及偶+奇=奇）

中間全為偶的層是 \(1+2^n\) 層。（這裡的楊輝三角是從 \(1\) 開始算層數）

\(\text{Code}\)

法一

#include <cstdio>

#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T> inline T read(const T sample) {
    T x=0; int f=1; char s;
    while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
    while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
    if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T gcd(const T x,const T y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T lcm(const T x,const T y) {return x/gcd(x,y)*y;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}

#include <cstring>

const int maxn=2e5+5;

int a[maxn],b[maxn],n,m,N,M;

int main() {
	for(int t=read(9);t;--t) {
		memset(b,0,sizeof b);
		n=read(9),m=read(9);
		rep(i,1,n) a[i]=read(9);
		rep(i,1,n) {
			N=m+i-2; M=i-1;
			if((N&M)==M) 
				for(int j=i;j<=n;++j)
					b[j]^=a[j-i+1];
		}
		rep(i,1,n-1) print(b[i],' ');
		print(b[n],'\n');
	}
	return 0;
} 
 

法二

程式碼轉自 Just_JK。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
 
const int N = 2e5+5;
 
int dp[N];
 
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &dp[i]);
        while(m) {
            int x = m&-m;  //取m中的最低的1所在的位（lowbit位），sum+=x;
            for(int j = x; j < n; j++) {  //當前表示的是之前所有x的和的狀態,dp[sum][j]=dp[sum-x][j]^dp[sum][j-x],x是當前sum中最高的1所在的位，即sum中所能減去的最大的2^n
                dp[j] ^= dp[j-x];       //dp[j](sum狀態)=dp[j](sum-x狀態,即上一個迴圈sum的狀態)^dp[j-x](sum狀態)
            }
            m -= x;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(i!=n-1)
            printf("%d ",dp[i]);
            else
            printf("%d\n",dp[i]);
        }
    }
    return 0;
}