題目地址：https://www.acwing.com/problem/content/1136/

題目描述：

給出一個N個頂點MM條邊的無向無權圖，頂點編號為11到NN。

問從頂點1開始，到其他每個點的最短路有幾條。

輸入格式

第一行包含2個正整數N,M，為圖的頂點數與邊數。

接下來M行，每行兩個正整數x,y，表示有一條頂點x連向頂點y的邊，請注意可能有自環與重邊。

輸出格式

輸出N行，每行一個非負整數，第i行輸出從頂點1到頂點i有多少條不同的最短路，由於答案有可能會很大，你只需要輸出對100003取模後的結果即可。

如果無法到達頂點i則輸出0。

資料範圍

1≤N≤1e5
1≤M≤2e5

題解：最短路問題最常見的是求最短路的權值，這道題讓求的是最短路的條數。對於這類問題，也有很多的求解方法。

我們可以求出最短路的一個拓撲圖，首先利用dijsktra求出所有點，不過這裡求的是，如果結點j的最短路是結點i,那麼就儲存下i是j的前驅，一個結點可能會有多條前驅，需要全部記下來，那麼這樣儲存的就是一個新的無環的拓撲圖，然後直接從源點s進行bfs就可以了，對於從佇列中出來的結點，出來幾次，那麼到該結點的最短路就有幾條。

當然，上面的這個方法，首先需要保證不存在負圈，並且也不能存在權值為0的環。

另一個辦法就是利用spfa的鬆弛操作。如果隊列當前拿出的結點為now,那麼遍歷now的每條邊，如果邊的另一個結點為v；dis[v]<=dis[now],那麼結點v不能更新v，就忽略；dis[v]==dis[now]+1,那麼這條路也是當前（注意這裡不一定是全域性）最短路，讓num[v]+=num[now](num[i]表示當前到結點i的最短路的條數)；dis[v]>dis[now]+1,那麼結點v的最短路就會被更新，讓num[v]=num[now]即可。

AC程式碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2e5+10,mod=1e5+3;
typedef pair<int,int> PII;
struct node{
    int from,to,next;
}edge[M*2];
int head[N],cnt,dis[N],num[N];
int n,m;

void addedge(int u,int
 
 v){
    cnt++;
    edge[cnt].from=u;
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}

void spfa(int s){
    int st[N]={0};
    dis[1]=0;
    num[s]=1;
    queue<int>q;
    q.push(s);
    st[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();q.pop();
        st[now]=0;
        for(int i=head[now];~i;i=edge[i].next){
            if(dis[edge[i].to]<=dis[now]) continue;
            if(dis[edge[i].to]==dis[now]+1) num[edge[i].to]+=num[now];
            else num[edge[i].to]=num[now];
            num[edge[i].to]%=mod;
            dis[edge[i].to]=dis[now]+1;
            if(st[edge[i].to]) continue;
            q.push(edge[i].to);
            st[edge[i].to]=1;
        }
    }
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(num,0,sizeof(num));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        addedge(u,v);
        addedge(v,u);
    }
    spfa(1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<num[i]<<endl;
    return 0;
}

寫於：2020/9/10 15:52