Description

求 \(n \le 10^9\) 個節點的二叉樹的葉子節點數期望。

Solution

設 \(f_i\) 表示 \(i\) 階二叉樹本質不同個數，\(g_i\) 表示所有本質不同 \(i\) 階二叉樹的樹葉個數的和，則有

顯然 \(f_i\) 是卡特蘭數數列，有

然而 \(g_i\) 不好處理，下面我們證明 \(g_n=nf_{n-1}\)

對於 \(n\) 階二叉樹，設有 \(k\) 個葉子，分別刪去得到 \(k\) 棵 \(n-1\) 階二叉樹。而每個 \(n-1\) 階二叉樹有 \(n\) 個位置可以懸掛新的葉子，這種新增方式唯一對應了一種刪除操作，而刪除操作的總數就是所有葉子的個數總和。因此，葉子個數的總和為 \(nf_{n-1}\)。

於是有

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

signed main()
{
    double n;
    cin>>n;
    printf("%.10lf",n*(n+1)/(4*n-2));
}