Luogu P4247 [清華集訓2012]序列操作
題意
給定一個長度為 \(n\) 的序列 \(a\) 和 \(q\) 次操作，每次操作形如以下三種：
-
I a b c，表示將 \([a,b]\) 內的元素加 \(c\)。 -
R a b，表示將 \([a,b]\) 內的元素變成相反數。 -
Q a b c，表示在 \([a,b]\) 內所有選出 \(c\) 個元素的乘積之和。
對於每一個詢問操作，輸出答案對 \(19940417\) 取模的值。
\(\texttt{Data Range:}1\leq n\leq q\leq 50000\)
題解
好題啊。
看到這種題馬上想到用線段樹維護區間內 \((1+a_ix)\) 的乘積，然後答案就是取一項。
考慮如何打懶標記。對於相反數的話，設 \(F(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(1+a_ix)\)，那麼有
\[\prod\limits_{i=1}^{n}(1-a_ix)=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i[x^i]F(x) \]
這個結論大概可以手玩一下，所以說打懶標記的時候只需要奇次項取相反數即可。
接下來是區間加這個大毒瘤，還是考慮懶標記的打法。
接下來為了方便我們用 \(S_k\) 表示 \(a_1,a_2,\cdots a_n\) 中取 \(k\) 項的所有乘積之和，那麼有
\[[1+(a_1+c)x][1+(a_2+c)x][1+(a_3+c)x]=1+(S_1+3cx)+(S_2+2S_1c+3c^2)x^2+(S_3+S_2c+S_1c^2+c^3)x^3 \]
注意到我們可以列舉一下多項式的 \(i\) 次項係數和這一項係數裡面是取 \(j\) 項的所有方案數的乘積之和，那麼我們得到當前列舉的 \(i,j\) 對應的 \(S_j\) 的係數為：
\[\frac{\binom{n}{i}\binom{i}{j}c^{i-j}}{\binom{n}{j}} \]
這裡有一個組合意義的解釋：首先將 \((a_i+c)x\) 看做整體，從 \(n\) 箇中選出 \(i\) 個構成 \((a_1+c)(a_2+c)\cdots(a_i+c)x^i\) 這一項。接下來在求出這一項中對應的 \(c^{i-j}\) 的係數，也就是選了 \(j\) 個 \(a\) 和 \(i-j\)
利用一些基本的恆等式我們有
\[\frac{\binom{n}{i}\binom{i}{j}c^{i-j}}{\binom{n}{j}}=\binom{n-j}{i-j}c^{i-j} \]
於是列舉一下這個東西就沒了，時間複雜度 \(O(c^2n\log n)\)。
程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=5e4+51,MOD=19940417;
struct SegmentTree{
ll l,r,tag,tag2;
ll f[21];
};
SegmentTree tree[MAXN<<2];
ll n,qcnt,l,r,u;
char op;
ll x[MAXN],pw[MAXN],binom[MAXN][21],g[21];
inline ll read()
{
register ll num=0,neg=1;
register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
{
ch=getchar();
}
if(ch=='-')
{
neg=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return num*neg;
}
inline void conv(ll *f,ll *g,ll *res)
{
li cur;
for(register int i=0;i<=20;i++)
{
cur=0;
for(register int j=0;j<=i;j++)
{
cur+=(li)f[j]*g[i-j]%MOD;
}
res[i]=cur%MOD;
}
}
#define ls node<<1
#define rs (node<<1)|1
inline void update(ll node)
{
conv(tree[ls].f,tree[rs].f,tree[node].f);
}
inline void create(ll l,ll r,ll node)
{
tree[node]=(SegmentTree){l,r,0,1,{1}};
if(l==r)
{
return (void)(tree[node].f[1]=x[l]);
}
ll mid=(l+r)>>1;
create(l,mid,ls),create(mid+1,r,rs),update(node);
}
inline void spread(ll node)
{
if(tree[node].tag2!=1)
{
for(register int i=1;i<=20;i+=2)
{
tree[ls].f[i]=(MOD-tree[ls].f[i])%MOD;
tree[rs].f[i]=(MOD-tree[rs].f[i])%MOD;
}
tree[ls].tag2*=-1,tree[rs].tag2*=-1,tree[node].tag2=1;
tree[ls].tag=(MOD-tree[ls].tag)%MOD;
tree[rs].tag=(MOD-tree[rs].tag)%MOD;
}
if(tree[node].tag)
{
ll lenl=tree[ls].r-tree[ls].l+1,lenr=tree[rs].r-tree[rs].l+1;
li curl,curr;
for(register int i=1;i<=20;i++)
{
pw[i]=(li)pw[i-1]*tree[node].tag%MOD;
}
for(register int i=20;i;i--)
{
curl=curr=0;
for(register int j=0;j<i;j++)
{
curl+=(li)tree[ls].f[j]*pw[i-j]%MOD*binom[lenl-j][i-j]%MOD;
curr+=(li)tree[rs].f[j]*pw[i-j]%MOD*binom[lenr-j][i-j]%MOD;
}
tree[ls].f[i]=(tree[ls].f[i]+curl)%MOD;
tree[rs].f[i]=(tree[rs].f[i]+curr)%MOD;
}
tree[ls].tag+=tree[node].tag,tree[rs].tag+=tree[node].tag;
tree[ls].tag%=MOD,tree[rs].tag%=MOD,tree[node].tag=0;
}
}
inline void add(ll l,ll r,ll val,ll node)
{
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r)
{
ll len=tree[node].r-tree[node].l+1;
li cur=0;
for(register int i=1;i<=20;i++)
{
pw[i]=(li)pw[i-1]*val%MOD;
}
for(register int i=20;i;i--)
{
cur=0;
for(register int j=0;j<i;j++)
{
cur+=(li)tree[node].f[j]*pw[i-j]%MOD*binom[len-j][i-j]%MOD;
}
tree[node].f[i]=(tree[node].f[i]+cur)%MOD;
}
return (void)(tree[node].tag=(tree[node].tag+val)%MOD);
}
ll mid=(tree[node].l+tree[node].r)>>1;
spread(node);
l<=mid?add(l,r,val,ls):(void)1,r>mid?add(l,r,val,rs):(void)1;
update(node);
}
inline void mul(ll l,ll r,ll node)
{
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r)
{
for(register int i=1;i<=20;i+=2)
{
tree[node].f[i]=(MOD-tree[node].f[i])%MOD;
}
tree[node].tag=(MOD-tree[node].tag)%MOD;
return (void)(tree[node].tag2*=-1);
}
ll mid=(tree[node].l+tree[node].r)>>1;
spread(node);
l<=mid?mul(l,r,ls):(void)1,r>mid?mul(l,r,rs):(void)1,update(node);
}
inline SegmentTree query(ll l,ll r,ll node)
{
SegmentTree res;
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r)
{
return tree[node];
}
ll mid=(tree[node].l+tree[node].r)>>1;
spread(node),conv(l<=mid?query(l,r,ls).f:g,r>mid?query(l,r,rs).f:g,res.f);
return res;
}
int main()
{
n=read(),qcnt=read(),binom[0][0]=pw[0]=g[0]=1;
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=(read()%MOD+MOD)%MOD;
}
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
binom[i][0]=1;
for(register int j=1;j<=20;j++)
{
binom[i][j]=(binom[i-1][j]+binom[i-1][j-1])%MOD;
}
}
create(1,n,1);
for(register int i=0;i<qcnt;i++)
{
cin>>op,l=read(),r=read();
if(op=='I')
{
u=(read()%MOD+MOD)%MOD,add(l,r,u,1);
}
if(op=='R')
{
mul(l,r,1);
}
if(op=='Q')
{
u=read();
printf("%d\n",query(l,r,1).f[u]);
}
}
}