引言

有一類經典的數據結構問題，要求高效地支持以下幾種操作：

1.新建一個數據結構

2.將兩個數據結構的信息合並（要求合並操作滿足交換律、結合律）

3.在數據結構中查詢某些信息

這類問題有時需要根據數據結構的特性設計操作，同時也存在一類較為通用的解決方法。

合並操作可以看做批量地在數據結構中添加信息，而一般的插入操作則是合並的特例

定義與約定

設n表示問題中新建的數據結構個數

|A|表示數據結構A由幾個數據結構合並得到

A+B表示合並A,B得到的數據結構，因此有|A+B|=|A|+|B|

直接合並

當合並兩個數據結構時，可以將其中一個數據結構的信息逐一插入到另一個數據結構中，總共需要進行O(n^2)次插入操作。

基於某些特殊性質的合並

森林實現的並查集可以直接通過修改父親合並

無旋轉treap可以基於分裂操作遞歸合並，若兩樹值域區間不相交也可以用類似斜堆的合並方式

各種可並堆也設計了相應的方式進行高效的合並

此類合並一般非常高效，一部分還能同時在非均攤的意義下保證很低的合並復雜度，但一般難以推廣。

啟發式合並

若在合並A,B時，令|A|<=|B|，將A拆散並逐一插入B，由於每次插入會使一個元素所在數據結構增大至少一倍，可以將插入操作的次數降至O(nlogn)。

平衡樹啟發式合並是一個常見的例子。

基於相同結構的合並

對於兩個結構相同的數據結構，可以考慮將兩個數據結構重疊起來，合並重疊部分的信息。

一個簡單的例子是trie的合並，將兩棵待合並的trie重疊起來，從根開始dfs求出重疊部分並合並相關信息。合並的時間復雜度與合並時重疊部分的大小有關，由於重疊部分合並後總點數減少了，可以保證總的時間復雜度與合並時減少的點數同階。

對於線段樹或k-d樹，如果采用相同的區間劃分方式，也可以使數據結構的結構相同，從而可以應用這個方法。

此方法一般優於直接進行啟發式合並。

例題 2014年集訓隊互測 bzoj3615 MSS

題目大意 維護一些平面上的點集，支持按某一維坐標分割點集，合並兩個點集，對一個點集的所有點點權加上一個數，詢問一個點集的點權和、最小/大值。

對給出的點建立二維k-d樹，建樹後將每個點到根的路徑提取出來得到n棵只包含一個點的相同結構的k-d樹。合並操作可以很方便地遞歸進行，點權的維護可以仿照線段樹打標記實現。分裂操作可以看作合並的逆操作，由於k-d樹的結構，可以保證分裂時增加點數為O(n^(1/2))。

基於二進制分組的合並

某些時候，不能高效地在數據結構中插入一條信息，這時候便很難應用前文所提及的方法。如果對A+B的一次查詢可以轉化為對A,B分別查詢，那麽可以平衡合並和查詢的時間復雜度，在合並時不完全合並，以增加查詢的復雜度為代價減少合並次數。

對於數據結構A，可以將|A|表示為一些互不相同的2的非負整數次冪之和（至多分為O(log|A|)個數），並將信息分別維護，查詢時在O(log|A|)個部分內分別查詢。在合並時，仿照二進制加法的進位過程，合並對應的部分。這樣一個元素每參與一次合並，所在數據結構的大小增大一倍，若合並A,B的時間復雜度為O(|A|+|B|)，則合並操作的總時間復雜度為O(nlogn)，優於直接對二進制分組套用啟發式合並。

數據結構的合並