數據結構之線段樹
1、概述
線段樹，也叫區間樹，是一個完全二叉樹，它在各個節點保存一條線段（即“子數組”），因而常用於解決數列維護問題，它基本能保證每個操作的復雜度為O(lgN)。
2、線段樹基本操作
線段樹的基本操作主要包括構造線段樹，區間查詢和區間修改。
（1） 線段樹構造
首先介紹構造線段樹的方法：讓根節點表示區間[0,N-1]，即所有N個數所組成的一個區間，然後，把區間分成兩半，分別由左右子樹表示。不難證明，這樣的線段樹的節點數只有2N-1個，是O(N)級別的，如圖：
顯然，構造線段樹是一個遞歸的過程，偽代碼如下：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
//構造求解區間最小值的線段樹
function 構造以v為根的子樹
if v所表示的區間內只有一個元素
v區間的最小值就是這個元素, 構造過程結束
end if
把v所屬的區間一分為二，用w和x兩個節點表示。
標記v的左兒子是w，右兒子是x
分別構造以w和以x為根的子樹（遞歸）
v區間的最小值 <- min(w區間的最小值,x區間的最小值)
end function
|
線段樹除了最後一層外，前面每一層的結點都是滿的，因此線段樹的深度
h =ceil(log(2n -1))=O(log n)。
（2） 區間查詢
區間查詢指用戶輸入一個區間，獲取該區間的有關信息，如區間中最大值，最小值，第N大的值等。
比如前面一個圖中所示的樹，如果詢問區間是[0,2]，或者詢問的區間是[3,3]，不難直接找到對應的節點回答這一問題。但並不是所有的提問都這麽容易回答，比如[0,3]，就沒有哪一個節點記錄了這個區間的最小值。當然，解決方法也不難找到：把[0,2]和[3,3]兩個區間（它們在整數意義上是相連的兩個區間）的最小值“合並”起來，也就是求這兩個最小值的最小值，就能求出[0,3]範圍的最小值。同理，對於其他詢問的區間，也都可以找到若幹個相連的區間，合並後可以得到詢問的區間。
區間查詢的偽代碼如下：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 |
// node 為線段樹的結點類型，其中Left 和Right 分別表示區間左右端點
// Lch 和Rch 分別表示指向左右孩子的指針
void Query(node *p, int a, int b) // 當前考察結點為p，查詢區間為(a,b]
{
if (a <= p->Left && p->Right <= b)
// 如果當前結點的區間包含在查詢區間內
{
...... // 更新結果
return;
}
Push_Down(p); // 等到下面的修改操作再解釋這句
int mid = (p->Left + p->Right) / 2; // 計算左右子結點的分隔點
if (a < mid) Query(p->Lch, a, b); // 和左孩子有交集，考察左子結點
if (b > mid) Query(p->Rch, a, b); // 和右孩子有交集，考察右子結點
}
|
可見，這樣的過程一定選出了盡量少的區間，它們相連後正好涵蓋了整個[l,r]，沒有重復也沒有遺漏。同時，考慮到線段樹上每層的節點最多會被選取2個，一共選取的節點數也是O(log n)的，因此查詢的時間復雜度也是O(log n)。
線段樹並不適合所有區間查詢情況，它的使用條件是“相鄰的區間的信息可以被合並成兩個區間的並區間的信息”。即問題是可以被分解解決的。
（3） 區間修改
當用戶修改一個區間的值時，如果連同其子孫全部修改，則改動的節點數必定會遠遠超過O(log n)個。因而，如果要想把區間修改操作也控制在O(log n)的時間內，只修改O(log n)個節點的信息就成為必要。
借鑒前一節區間查詢用到的思路：區間修改時如果修改了一個節點所表示的區間，也不用去修改它的兒子節點。然而，對於被修改節點的祖先節點，也必須更新它所記錄的值，否則查詢操作就肯定會出問題（正如修改單個節點的情況一樣）。
這些選出的節點的祖先節點直接更新值即可，而選出的節點的子孫卻顯然不能這麽簡單地處理：每個節點的值必須能由兩個兒子節點的值得到，如這幅圖中的例子：
這裏，節點[0,1]的值應該是4，但是兩個兒子的值又分別是3和5。如果查詢[0,0]區間的RMQ，算出來的結果會是3，而正確答案顯然是4。
問題顯然在於，盡管修改了一個節點以後，不用修改它的兒子節點，但是它的兒子節點的信息事實上已經被改變了。這就需要我們在節點裏增設一個域：標記。把對節點的修改情況儲存在標記裏面，這樣，當我們自上而下地訪問某節點時，就能把一路上所遇到的所有標記都考慮進去。
但是，在一個節點帶上標記時，會給更新這個節點的值帶來一些麻煩。繼續上面的例子，如果我把位置0的數字從4改成了3，區間[0,0]的值應該變回3，但實際上，由於區間[0,1]有一個“添加了1”的標記，如果直接把值修改為3，則查詢區間[0,0]的時候我們會得到3+1=4這個錯誤結果。但是，把這個3改成2，雖然正確，卻並不直觀，更不利於推廣（參見下面的一個例子）。
為此我們引入延遲標記的一些概念。每個結點新增加一個標記，記錄這個結點是否被進行了某種修改操作(這種修改操作會影響其子結點)。還是像上面的一樣，對於任意區間的修改，我們先按照查詢的方式將其劃分成線段樹中的結點，然後修改這些結點的信息，並給這些結點標上代表這種修改操作的標記。在修改和查詢的時候，如果我們到了一個結點p ，並且決定考慮其子結點，那麽我們就要看看結點p 有沒有標記，如果有，就要按照標記修改其子結點的信息，並且給子結點都標上相同的標記，同時消掉p 的標記。代碼框架為：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
// node 為線段樹的結點類型，其中Left 和Right 分別表示區間左右端點
// Lch 和Rch 分別表示指向左右孩子的指針
void Change(node *p, int a, int b) // 當前考察結點為p，修改區間為(a,b]
{
if (a <= p->Left && p->Right <= b)
// 如果當前結點的區間包含在修改區間內
{
...... // 修改當前結點的信息，並標上標記
return;
}
Push_Down(p); // 把當前結點的標記向下傳遞
int mid = (p->Left + p->Right) / 2; // 計算左右子結點的分隔點
if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); // 和左孩子有交集，考察左子結點
if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); // 和右孩子有交集，考察右子結點
Update(p); // 維護當前結點的信息（因為其子結點的信息可能有更改）
}
|
3、應用
下面給出線段樹的幾個應用：
（1）有一列數，初始值全部為0。每次可以進行以下三種操作中的一種：
a. 給指定區間的每個數加上一個特定值；
b.將指定區間的所有數置成一個統一的值；
c.詢問一個區間上的最小值、最大值、所有數的和。
給出一系列a.b.操作後，輸出c的結果。
[問題分析]
這個是典型的線段樹的應用。在每個節點上維護一下幾個變量：delta（區間增加值），same（區間被置為某個值），min（區間最小值），max（區間最大值），sum（區間和），其中delta和same屬於“延遲標記”。
（2）在所有不大於30000的自然數範圍內討論一個問題：已知n條線段，把端點依次輸入給你，然後有m（≤30000）個詢問，每個詢問輸入一個點，要求這個點在多少條線段上出現過。
[問題分析]
在這個問題中，我們可以直接對問題處理的區間建立線段樹，在線段樹上維護區間被覆蓋的次數。將n條線段插入線段樹，然後對於詢問的每個點，直接查詢被覆蓋的次數即可。
但是我們在這裏用這道題目，更希望能夠說明一個問題，那就是這道題目完全可以不用線段樹。我們將每個線段拆成(L,+1)，(R+1,-1)的兩個事件點，每個詢問點也在對應坐標處加上一個詢問的事件點，排序之後掃描就可以完成題目的詢問。我們這裏討論的問題是一個離線的問題，因此我們也設計出了一個很簡單的離線算法。線段樹在處理在線問題的時候會更加有效，因為它維護了一個實時的信息。
這個題目也告訴我們，有的題目盡管可以使用線段樹處理，但是如果我們能夠抓住題目的特點，就可能獲得更加優秀的算法。
（3）某次列車途經C個城市，城市編號依次為1到C，列車上共有S個座位，鐵路局規定售出的車票只能是坐票，即車上所有的旅客都有座，售票系統是由計算機執行的，每一個售票申請包含三個參數，分別用O、D、N表示，O為起始站，D為目的地站，N為車票張數，售票系統對該售票申請作出受理或不受理的決定，只有在從O到D的區段內列車上都有N個或N個以上的空座位時該售票申請才被受理，請你寫一個程序，實現這個自動售票系統。
[問題分析]
這裏我們可以把所有的車站順次放在一個數軸上，在數軸上建立線段樹，在線段樹上維護區間的delta與max。每次判斷一個售票申請是否可行就是查詢區間上的最大值；每個插入一個售票請求，就是給一個區間上所有的元素加上購票數。
這道題目在線段樹上維護的信息既包括自下至上的遞推，也包括了自上至下的傳遞，能夠比較全面地對線段樹的基本操作進行訓練。
（4）給一個n*n的方格棋盤，初始時每個格子都是白色。現在要刷M次黑色或白色的油漆。每次刷漆的區域都是一個平行棋盤邊緣的矩形區域。
輸入n,M,以及每次刷漆的區域和顏色，輸出刷了M次之後棋盤上還有多少個棋格是白色。
[問題分析]
首先我們從簡單入手，考慮一維的問題。即對於一個長度為n的白色線段，對它進行M次修改（每次更新某一子區域的顏色）。問最後還剩下的白色區域有多長。
對於這個問題，很容易想到建立一棵線段樹的模型。復雜度為O(Mlgn)。
擴展到二維，需要把線段樹進行調整，即首先在橫坐標上建立線段樹，它的每個節點是一棵建立在縱坐標上的線段樹（即樹中有樹。稱為二維線段樹）。復雜度為O(M(logn)^2)。
4、總結
利用線段樹，我們可以高效地詢問和修改一個數列中某個區間的信息，並且代碼也不算特別復雜。
但是線段樹也是有一定的局限性的，其中最明顯的就是數列中數的個數必須固定，即不能添加或刪除數列中的數。
5、參考資料
（1） 楊弋文章：《線段樹》：
http://download.csdn.net/source/2255479
（2） 林濤文章《線段樹的應用》：
http://wenku.baidu.com/view/d65cf31fb7360b4c2e3f64ac.html
（3） 朱全民文章《線段樹及其應用》：
http://wenku.baidu.com/view/437ad3bec77da26925c5b0ba.html
（4） 線段樹：
http://wenku.baidu.com/view/32652a2d7375a417866f8f51.html
---------------------------------------------------------------------------------------------- 更多關於數據結構和算法的介紹，請查看：數據結構與算法匯總 ----------------------------------------------------------------------------------------------
原創文章，轉載請註明： 轉載自董的博客
本文鏈接地址: http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/
數據結構之線段樹