題目描述

為了表彰小聯為Samuel星球的探險所做出的貢獻，小聯被邀請參加Samuel星球近距離載人探險活動。 由於Samuel星球相當遙遠，科學家們要在飛船中度過相當長的一段時間，小聯提議用撲克牌打發長途旅行中的無聊時間。玩了幾局之後，大家覺得單純玩撲克牌對於像他們這樣的高智商人才來說太簡單了。有人提出了撲克牌的一種新的玩法。 對於撲克牌的一次洗牌是這樣定義的，將一疊N（N為偶數）張撲克牌平均分成上下兩疊，取下面一疊的第一張作為新的一疊的第一張，然後取上面一疊的第一張作為新的一疊的第二張，再取下面一疊的第二張作為新的一疊的第三張……如此交替直到所有的牌取完。 如果對一疊6張的撲克牌1 2 3 4 5 6，進行一次洗牌的過程如下圖所示：

輸入

有三個用空格間隔的整數，分別表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N為偶數）。

輸出

單行輸出指定的撲克牌的牌面大小。

樣例輸入

6 2 3

樣例輸出

6

題解

歐拉定理

由題意，第i張牌洗牌後的位置是2i mod (n+1)。

那麽原題就是要求$2^m·x\equiv l\ \ \ (mod\ (n+1))$的最小正整數解 。

直接使用乘法逆元將$2^m$除過去即可。

註意到$2^m$與$n+1$一定是互質的，因此由歐拉定理$a^{\varphi(p)}\equiv 1\ (mod\ p)$，可以求得$2^m$的逆元為$(2^m)^{\varphi(n+1)-1}$。

求一下歐拉函數並使用快速冪求解即可。

當然好像還有更快但是更麻煩的EXgcd算法

由於兩個大數相乘會爆long long，因此還要使用快（man）速乘

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mul(ll x , ll y , ll mod)
{
	ll ans = 0;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = (ans + x) % mod;
		x = (x + x) % mod , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll pow(ll x , ll y , ll mod)
{
	ll ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = mul(ans , x , mod);
		x = mul(x , x , mod) , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll phi(ll x)
{
	ll ans = x , i;
	for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ )
	{
		if(x % i == 0)
		{
			ans = ans / i * (i - 1);
			while(x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);
	return ans;
}
int main()
{
	ll n , m , l;
	scanf("%lld%lld%lld" , &n , &m , &l);
	printf("%lld\n" , mul(pow(pow(2 , m , n + 1) , phi(n + 1) - 1 , n + 1) , l , n + 1));
	return 0;
}

【bzoj1965】 [Ahoi2005]SHUFFLE 洗牌 歐拉定理