1 落單的數

題目描述：

有2n+1個數，其中2n個數兩兩成對，1個數落單，找出這個數。要求O(n)的時間復雜度，O(1)的空間復雜度。

進階問題：如果有2n+2個數，其中有2個數落單，該怎麽辦？

分析

初階：將2n+1個數異或起來，相同的數會抵消，異或的答案就是要找的數。

進階：假設兩個不同的數是a和b，並且a!=b，將2n+2個數異或起來就會得到c=a xor b，並且c不等於0。因此在c的二進制位中找到一個為1的位，可推斷在這位上a和b分別為0和1，因此將2n+2個數分為該位位0的組和該位為1的組，兩組中各自會包含2n’+1個數和2n’’+1個數，用初階的算法即可解決。

2 抄書問題

題目描述：

有n本書和k個抄寫員。要求n本書必須連續的分配給這k個抄寫員抄寫。也就是說前a1本書分給第一個抄寫員，接下來a2本書分給第二個抄寫員，如此類推（a1,a2需要你的算法來決定）。給定n,k和每本書的頁數p1,p2..pn，假定每個抄寫員速度一樣（每分鐘1頁），k個抄寫員同時開始抄寫，問最少需要多少時間能夠將所有書全部抄寫完工？（提示：本題有很多種算法可以在不同的時間復雜度下解決，需要盡可能的想到所有的方法）

分析

解法1：動態規劃 設f[i][j]代表前i本書分給j個抄寫員抄完的最少耗時。答案就是f[n][k]。狀態轉移方程f[i][j] = min{max(f[x][j-1], sum(x+1, i)), j<x<i}。其中x是在枚舉第j個抄寫員是從哪本書開始抄寫。 時間復雜度O(n^2*k)

解法2：動態規劃+決策單調。 同上一解法，但在x的枚舉上進行優化，設s[i][j]為使得f[i][j]獲得最優值的x是多少。根據四邊形不等式原理，有s[i][j-1]>=s[i][j]>=s[i-1][j]。因此x這一層的枚舉不再是每次都是n而是總共加起來n。 時間復雜度O(n*k)

解法3：二分答案。二分最慢的時間，然後嘗試一本本的加進來，加滿了就給一個抄寫員。看最後需要的抄寫員數目是多余k個還是少於k個，然後來決定是將答案往上調整還是往下調整。 時間復雜度O( n log SUM(pi) )

3 找壞球

題目描述：

有12個球，1個沒有砝碼的天秤。其中有11個球的重量是一樣的，另外1個是壞球，和其他球的重量不一樣，但無法確定是輕了還是重了。請問如何用天秤稱3次，就找到壞球並確定是輕了還是重了。（沒有砝碼的天秤只能比較出兩邊誰重誰輕或是重量相等，無法求得具體的重量差）

分析

12個球，編號A=（1，2，3，4 ）B=（5，6，7，8）C=（9，10，11，12）

分為三組:A, B, C。

• 先比較A,B,如果A與B平衡，則A，B中均為好球

  • 比較5，6，7與9，10，11
    • 若平衡，則壞球為8或12
      • 比較8與任何一個好球，平衡，壞球為12；不平，壞球為8。
    • 若不平，則目前可以知道是壞的球比好球是重還是輕，假設為重
      • 比較9，10，若平衡，則壞球為12；不平，壞球為重的那個

• 若A，B不平，則C為好球

  • 比較1，2，5 與 3，4，6（交叉，這玩意面試的時候能想到？）
    • 若平衡，則壞球在7，8之間，且之前已經得知輕重的一個關系，再比較一次7，8
    • 若不平衡，或者1，2為壞球，或者5，6為壞球，再比較一次。

4 索引比例

題目描述：

估算Baidu和Google的網頁索引數量之比

分析

我們可以假設能夠通過搜索引擎做到如下的兩件事：

1. 隨機取到一個網頁

2. 判斷某個網頁(url)是否被索引

因此，在Baidu上多次隨機關鍵詞進行搜索，獲取到每個關鍵詞對應結果的若幹網頁信息（url），將這些url在Google上查找是否被索引到。從而得到Baidu網頁中Google索引的的比例為1/B。

對Google做同樣的事情，得到Google網頁中被Baidu索引的比例1/G。由此可知Baidu和Google的索引比例為B:G

5 第k大的數

題目描述

初階：有兩個數組A和B，假設A和B已經有序（從大到小），求A和B數組中所有數的第K大。

進階：有N臺機器，每臺機器上有一個有序大數組，需要求得所有機器上所有數中的第K大。註意，需要考慮N臺機器的並行計算能力。

分析

初階：比較A[k/2]和B[k/2]，如果A[k/2]>=B[k/2]那麽A的前k/2個數一定都在前k-1大中，將A數組前k/2個數扔掉，反之扔掉B的前k/2個數。將k減小k/2。重復上述操作直到k=1。比較A和B的第一個數即可得到結果。時間復雜度O(logk) Leetcode原題，據說極其高頻

進階：二分答案S，將S廣播給每臺機器，每臺機器用二分法求得有多少比該數小的數。匯總結果後可判斷是該將S往上還是往下調整。

面試官角度：

初階問題是一個比較難度大的算法題。需要有一定的算法訓練功底。主要用到的思想是遞歸。首先容易想到的方法是合並兩個數組（見面試題5，有序數組的合並），這樣復雜度為O(k)，那麽答出這個以後，面試官會問你，還有更好的方法麽？這個時候就要往O(logk)的思路去想，O(logk)就意味著需要用一種方法每次將k的規模減小一半，於是想到，每次要扔掉一個數組或兩個數組中的k/2個數，於是想到去比較A[k/2]和B[k/2]，仔細思考比較結果，然後想到較大的那一方的前k/2個數一定都在前k-1大的數中，於是可以扔掉。

進階問題的考察點是逆向思維。二分答案是一種常見的算法思路（見面試題2 抄書問題），所以當你想不出題目的時候，往往可以試試看是否可以二分答案。因為需要發揮N臺機器的並行計算能力，所以想到讓每臺機器互不相關的做一件事情，然後將結果匯總來判斷。

進階題偽代碼

int FindK(vector<vector<int> > & mq, int N, int k) { int ans_upper = INT_MAX; int ans_lower = INT_MIN; int sum_len = 0; while(sum_len != k) { ans = ans_lower + (ans_upper - ans_lower) /2; for (int i=0; i<N; i++) { sum_len += left_count_binarySearch(mq[i], ans); } if (sum_len > k) ans_upper = ans; if (sum_len < k) ans_lower = ans; } return ans; } 

6 前k大的和，這題很有意思

題目描述

初階：有兩個數組A和B，每個數組有k個數，從兩個數組中各取一個數加起來可以組成k*k個和，求這些和中的前k大。

進階：有N個數組，每個數組有k個數，從N個數組中各取一個數加起來可以組成k^n個和，求這些和中的前k大。

分析

可以這個問題轉化為N個有序數組的合並問題，每個數組為：

因此，維護一個包含N個元素的最大堆，然後每取一個元素T，T所在列的下一個元素入堆，這樣循環取K個數，即完成了求TopK的問題。

進階：

先求1，2前K大，然後再與下一個求前K大。

7 賽馬問題

題目描述

有25匹馬，有一個5個賽道的馬場，每場比賽可以決出5匹馬的排名，假設每匹馬發揮穩定，且不會出現名次相同的情況。問，如果要知道25匹馬中跑得最快的馬，需要幾場比賽？如果需要知道跑得第二快的馬，需要幾場比賽？第三快的呢？

分析

1. 最快的，需要6次。

   • 每五匹賽一次（5次），每次的第一名，再一起賽一次（1次）

2. 第二快的，需要7次。

   • 每五匹賽一次（5次），每次的第一名，再一起賽一次（1次）
   • 最快的那組的第二名，與上次的第二名，跑一次。(1次)

3. 第三快的，需要7次。

   • 每五匹賽一次（5次），每次的第一名，再一起賽一次（1次）
   • 最快的那組的第二、三名，與上次的第二名那組裏的第二名，與上次的第二、第三名一起跑一次。

8 最大子區間/矩陣

題目描述

初階：數組A中有N個數，需要找到A的最大子區間，使得區間內的數和最大。即找到0<=i<=j<N，使得A[i]+A[i+1] … + A[j]最大。A中元素有正有負。

進階：矩陣A中有N*N個數，需要找到A的最大的子矩陣。

分析

第一個是經典的連續子序列問題，DP或者轉化為前綴和數組進行貪心。

第二個，枚舉上下行，中間壓縮為一個值，再采用第一個問題中的方法求解，復雜度O(n^3)

9 從輸入流中隨機取記錄

題目描述

有一個很大很大的輸入流，大到沒有存儲器可以將其存儲下來，而且只輸入一次，如何從這個輸入流中等概率隨機取得m個記錄。

分析

維護一個內存空間，存放前m個記錄，然後遇到第k元素，從m個記錄中，隨機抽取一個元素，然後以m/k的概率替換這個元素。

簡單證明

假設數據流一共N個元素，設第k個元素最後存在於所選取的記錄裏，則當遇到第k個元素時，k一定被替換，而k+1到最後N一定不被替換。

第k個元素不管替換了之前的哪一個元素，那肯定會留下來，因此概率為m/k。而後面第j個元素會替換k的概率是，j要替換，且隨機從m個元素中選到了k。其概率為mj?1mmj?1m

因此，第k個元素，最終仍會存在的概率為：

因此每個元素被取得的概率相等。

10 最常訪問IP

題目描述

給你一個海量的日誌數據，提取出某日訪問網站次數最多的IP地址。

分析

將日誌文件劃分成適度大小的M份存放到處理節點。

每個map節點所完成的工作：統計訪問百度的ip的出現頻度（比較像統計詞頻，使用字典樹），並完成相同ip的合並(combine)。

map節點將其計算的中間結果partition到R個區域，並告知master存儲位置，所有map節點工作完成之後，reduce節點首先讀入數據，然後以中間結果的key排序，對於相同key的中間結果調用用戶的reduce函數，輸出。

掃描reduce節點輸出的R個文件一遍，可獲得訪問網站度次數最多的ip。

面試官角度：

該問題是經典的Map-Reduce問題。一般除了問最常訪問，還可能會問最常訪問的K個IP。一般來說，遇到這個問題要先回答Map-Reduce的解法。因為這是最常見的解法也是一般面試官的考點。如果面試官水平高一點，要進一步問你有沒有其他解法的話，該問題有很多概率算法。能夠在極少的空間復雜度內，掃描一遍log即可得到Top k Frequent Items（在一定的概率內）。有興趣的讀者，可以搜搜“Sticky Sampling”，”Lossy Counting”這兩個算法。

九章算法-面試題總結(算法、強化算法、系統設計高清視頻觀看)