束老師高中數學輔導內容展示

對於高考數學而言，解決了以下三個問題，得高分將易如反掌。一是對於基本概念（包括定理、定義、性質、公式等，以下簡稱為“基本概念”）的深刻理解和掌握。二是拿到一道題之後應該如何思考，從而用上我們的基本概念去解決問題。三是一些考試技巧的運用。

束老師就是幫助學生解決這三個問題！

1. 在基本概念的教學中，主要通過“條件與結論”“自然語言、符號語言、圖形語言的相互轉換”“具體化”“正用、逆用、變形用”“聯系其他，形成系統”等五個方面，讓學生深刻理解基本概念的內涵和外延。

2. 在解題的教學中，講清楚每一步驟所根據的基本概念是什麽，加深學生對於基本概念的理解；更為重要的是，講清楚是如何想到要用這些基本概念，而不去用其他的基本概念，是題目上的哪些個關鍵字眼使你想到要用這些基本概念，利用我所總結的解題規律，使學生解題思維程序化，以後就這樣去想，只要不是偏題、怪題，肯定能夠解答出來。

3. 註重應試技巧的培訓，在教學的過程中，讓學生每道題都按高考要求首先快速準確的得出答案，然後再分析其他，讓“搶分”進入他的潛意識。

下面我將以高考題為例，來說明“只要按照我的教學去做，數學高考就沒有什麽問題”！

平面向量（摘錄）

（11上海理11）在正三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(BC\)上的點，\(AB = 3,BD = 1,\)則\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \)

這是2011年上海的一道平面向量的試題，我用了5種方法解決了這個問題，並且給學生總結了對於解決平面向量問題的應該從哪幾個不同的角度去思考，首先試最有可能的解法，如果解不出來，趕緊換個角度去想，切不可一棵樹上吊死。

2012年

（12江蘇9）如圖，在矩形\(ABCD\)中，\(AB = \sqrt 2 ,BC = 2,\)點\(E\)為\(BC\)的中點，點\(F\)在邊\(CD\)上，若\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AF} = \sqrt 2 \)，則\(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BF} \)的值是 ．

（12湖南文15）如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中 ，\(AP \bot BD\)，垂足為\(P\)，\(AP = 3\)，則\(\overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {AC} = \)

（12北京理文13）已知正方形\(ABCD\)的邊長為l，點\(E\)是\(AB\)邊上的動點.則\(\overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CB} \)的值為 ，\(\overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {DC} \)的最大值為

這3道試題中每一道至少可以用我講過的這道“11年上海”的試題中的一種方法去解，但不是每一種都適合。

這說明了什麽？

這說明，一方面，你只要把我所講的方法掌握了，高考題基本就沒有問題了；另一方面，如果老師講解一道題，並沒有真正的講到位，或者只是就題論題，沒有思想方法的總結，後面即使出現一樣的問題，學生還是照樣不會做.譬如就11年的這道上海的題為例，如果僅僅只是考慮到一二種方法，那麽12年的高考雖然是同樣的問題，還是有可能不會做。

直到今年（2016年），每年高考依然有多個省市的試題重復這樣的思路。

立體幾何（摘錄）

（10安徽文改編）如圖，在多面體\(ABCDEF\)中，四邊形\(ABCD\)是正方形，平面\(CDEF \cap \)平面\(BAEF = EF\)，\(AB = 2EF = 2\)，\(EF \bot FB\)，\(\angle BFC = 90^\circ \)，\(BF = FC\)，\(H\)為\(BC\)的中點.

（Ⅰ）求證：\(EF//\)平面\(ABCD\) （Ⅱ）求證：\(FH//\)平面\(EDB\).

（10安徽文原題）如圖，在多面體\(ABCDEF\)中，四邊形\(ABCD\)是正方形，\(AB = 2EF = 2\)，\(EF//AB\)，\(EF \bot FB\)，\(\angle BFC = 90^\circ \)，\(BF = FC\)，\(H\)為\(BC\)的中點.

（Ⅰ） 求證：\(FH//\)平面\(EDB\)；（Ⅱ） 求證：\(AC \bot \)平面\(EDB\)；（Ⅲ） 求四面體的體積.

改編題與原題相比，題設中加了平面\(CDEF \cap \)平面\(BAEF = EF\)，去掉了\(EF//AB\)，還去掉了一些其他不必要的條件，加了第一問(1)求證：\(EF//\)平面\(ABCD\)；去掉了原題中的第二、三問(Ⅱ) 求證：\(AC \bot \)平面\(EDB\)；(Ⅲ) 求四面體\(B - DEF\)的體積.

為什麽這樣處理？由於本節是集中講“平行關系的證明”，所以把有關垂直和體積的問題刪掉了，免得沖淡了主題。

第一問是我另加的，不難，但不太常考，很多學生想不到，2002年北京第一年自己出題，就出了這種考法，結果這一問得分率是非常之低。2014年北京又考了，弄得好多平時能考140多分的學生都做不出來，甚至由於這樣位置的題目每次都能輕松拿下，但這次花費了很多的時間，還是解決不了，引起慌亂，從而影響了整次考試。

第二問我提供了四種解法。

可以這麽說，通過這一道題的講解，基本上窮盡了所有“平行證明”問題的知識點和思考方法，每一種方法我都會很明確的告訴學生，第一步做什麽，第二步做什麽，程序化，以後就這麽去想，這麽去做，這一類問題可以說是手到擒來。後面我再通過一些反問題進行加深。

用第二問方法的就不再舉其他高考題的例子了，因為太多了，基本上都是這樣， 用上我所講的一種方法即可。

（14北京理17）如圖，正方形\(AMDE\)的邊長為\(2\)，\(B,C\)分別為\(AM,MD\)的中點，在五棱錐\(P - ABCDE\)中，\(F\)為棱\(PE\)的中點，平面\(ABF\)與棱\(PD,PC\)分別交於點\(G,H\).

（1）求證：\(AB//FG\)；

（2）若\(PA \bot \)底面\(ABCDE\)，且\(AF \bot PE\)，求直線\(BC\)與平面\(ABF\)所成角的大小，並求線段\(PH\)的長.

上題第一問就是不常考的很多學生想不到的那個問題。

用上我所講問題的第一問的方法，輕松解決，只不過我所講的問題需要三步，而北京高考的這道題只需兩步而已。

線性規劃（摘錄）

設不等式組\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 3\\x - y \ge - 1\\2x - y \le 3\end{array} \right.\)表示的平面區域為\(D\).

（1）求目標函數\(z = 2x + 3y\)的最值. （2）求目標函數\(z = 3x + 2y\)的最值.

（3）求目標函數\(z = 2x - 3y\)的最值. （4）求目標函數\(z = 2y - 3x\)的最值.

（5）求目標函數\(z = 3x - y\)的最值.

（6）求直線\(3x - y - 1 = 0\)與區域\(D\)的公共點的個數.

（7）平面區域\(E\)與\(D\)關於直線\(3x - 2y - 12 = 0\)對稱，對於\(D\)中任意點\(M\)與\(E\)中的任意點\(N\)，求\(\left| {MN} \right|\)的最小值.

（8）求目標函數\(z = {x^2} + {y^2}\)的最值.

（9）求目標函數\(z = {x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 10\)的最值.

（10）求目標函數\(z = {x^2} + 6x + {y^2} + 2y + 5\)的最值.

（11）求\(z = \frac{y}{x}\)的取值範圍. （12）求\(z = \frac{{y + 1}}{{x - 5}}\)的取值範圍.

（13）求\(z = \frac{{2y - 5}}{{x + 2}}\)的取值範圍. （14）求\(z = \frac{{y - 4}}{{2x - 3}}\)的取值範圍.

（15）目標函數\(z = ax + y\)取最小值時的最優解有無窮多個，求\(a\).

（16）目標函數\(z = ax + y\)取最小值時的最優解僅為 ，求\(a\)的取值範圍.

（17）目標函數\(z = ax + y\)的最小值為\( - 2\)，求\(a\).

（18）若\(a \ge 0,b \ge 0\)，恒有\(ax + by \le 1\)，求以\(a,b\)為坐標的點\(P(a,b)\)所形成的平面區域的面積.

（19）若恒有\(ax + by \le 1\)，求\(\frac{{b - 1}}{{a - 1}}\)和\({a^2} + {b^2} - 4a + 2b\)的取值範圍.

（20）直線\(y = kx - k + 2\)把區域\(D\)平分為面積相等的兩部分，求\(k\).

（21）若指數函數\(y = {a^x}\)的圖象上存在區域\(D\)上的點，求\(a\)的取值範圍.

（22）若對數函數\(y = {\log _a}x\)的圖象上存在區域\(D\)上的點，求\(a\)的取值範圍.

一個題設，22小問，很顯然這是我自編的題目，可以說在其他地方基本上找不到這樣的題目。一題基本窮盡了這類題的考點。

（1）求目標函數\(z = 2x + 3y\)的最值. （2）求目標函數\(z = 3x + 2y\)的最值.

（3）求目標函數\(z = 2x - 3y\)的最值. （4）求目標函數\(z = 2y - 3x\)的最值.

（5）求目標函數\(z = 3x - y\)的最值.

最常見的考法，基本每年都有一些省市的試題這樣的考，也非常的容易，但也有易出錯的點，我教學中會重點的提醒。由於非常的常見，在這裏就不再舉高考試題的例子了。

（16江蘇12）已知實數\(x,y\)滿足\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\2x + y - 2 \ge 0\\3x - y - 3 \le 0\end{array} \right.\) ，則\({x^2} + {y^2}\)的取值範圍是_ _.

（16山東理文4）若變量\(x,y\)滿足\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2,\\2x - 3y \le 9,\\x \ge 0,\end{array} \right.\)則\({x^2} + {y^2}\)的最大值是（ ）

（A）4 （B）9 （C）10 （D）12\(\)

考的是

（7）求目標函數\(z = {x^2} + {y^2}\)的最值. （8）求目標函數\(z = {x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 10\)的最值.

（9）求目標函數\(z = {x^2} + 6x + {y^2} + 2y + 5\)的最值.

這類問題。

（10）求\(z = \frac{y}{x}\)的取值範圍.

（11）求\(z = \frac{{y + 1}}{{x - 5}}\)的取值範圍. （12）求\(z = \frac{{2y - 5}}{{x + 2}}\)的取值範圍. （13）求\(z = \frac{{2y - 7}}{{x - 2}}\)的取值範圍.

這類問題還沒怎麽考過，要註意。

當然這樣的問題還可以結合圓，甚至圓錐曲線去考，我也有相應的試題。如：

已知實數\(x,y\)滿足\({x^2} + {y^2} - 4x + 1 \le 0\).（1）則\(\frac{y}{{x + 1}}\)的取值範圍為____________（2）則\({x^2} + {y^2} + 2y - 3\)的取值範圍為____________（3）則\(y - x\)的取值範圍為____________（4）則\(|y - x|\)的取值範圍為____________

我還有這樣的試題(題設中含參)：

不等式組\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \ge 0\\x - 2 \le 0\\ax - y + 1 \ge 0\end{array} \right.\)表示的平面區域為\(D\).

（1）若\(D\)的面積為2，求\(a\)的值. （2）若\(D\)內恰有10個整點，求\(a\)的取值範圍.

（3）若函數\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 3}}\)的圖象上存在區域\(D\)上的點，求\(a\)的取值範圍.

（4）若目標函數\(z = 3x + y\)的最大值為9，求\(a\)的值.

（5）若目標函數\(z = (a + 2)x + y\)的最大值小於11，求\(a\)的取值範圍.

2014年的北京高考就考了(4)，可以看出是一模一樣。

（14北京理6）若\(x,y\)滿足\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2 \ge 0}\\{kx - y + 2 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)且\(z = y - x\)的最小值為\( - 4\)，則\(k\)的值為（ ）

\(A.2\) \(B. - 2\) \(C.\frac{1}{2}\) \(D. - \frac{1}{2}\)

導數（摘錄）

導數，圓錐曲線是難點，每年各自必考一道大題，這兩道題是拉分的題，是能不能得高分的關鍵所在。

那麽如何解決這兩道題呢？

我們說，你只要按照我所總結的規律去做，第一步幹什麽，第二步幹什麽，完全可以不用動腦子，就是個體力活，三下五除二就做出來了。

例如拿導數來說，切線問題：我總結了四點，你照著這四點去做，肯定解決問題。這個東西一般的老師是不會總結的，因為導數中有關切線的問題很多時候都比較容易，你不總結憑著感覺去做一般也能做的出來，但是如果要是碰到2014年北京高考文科第20題（最後一道壓軸題）那樣的題，恐怕有一些同學就會抓瞎。但是如果你用上我的方法，肯定不會出問題，即使你一時擋住了，沒有關系，你把我所講的四點重新捋一遍，看哪一點沒用上，用上即可。

（14北京文20）已知函數\(f(x) = 2{x^3} - 3x\).

（1）求\(f(x)\)在區間\(( - 2,1)\)上的最大值；

（2）若過點\(P(1,t)\)存在3條直線與曲線\(y = f(x)\)相切，求t的取值範圍；

（3）問過點\(A( - 1,2),B(2,10),C(0,2)\)分別存在幾條直線與曲線\(y = f(x)\)相切？（只需寫出結論）

對比一下我所講試題：

設函數\(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{a}{2}{x^2} + bx + c\)，其中\(a > 0\)，曲線\(y = f(x)\)在點\(P(0,f(0))\)處的切線方程為\(y = 1\).

（Ⅰ）確定\(b,c\)的值. （Ⅱ）設曲線\(y = f(x)\)在點\(({x_1},f({x_1}))\)及\(({x_2},f({x_2}))\)處的切線都過點\((0,2)\)，證明：當\({x_1} \ne {x_2}\)時，\(f‘({x_1}) \ne f‘({x_2})\).

（Ⅲ）若過點\((0,2)\)可作曲線\(y = f(x)\)的三條不同切線，求\(a\)的取值範圍.

14年北京高考試題的第一問是送分題，沒什麽可說的，第二、三問就是所講試題的第三問！通過我所總結的有關切線問題的四點就能很輕松的解決！

當然，導數還有討論單調性的問題(但不一定直接說討論單調性)，而討論單調性的難點就在於含參(不含參的就太容易了，這裏就不說了，有一些問題雖然含參，但是我會教學生通過分離變量的方法變為不含參的)，那麽如何討論？非常簡單，我總結了三步。

你就照著這三步，一個一個對，凡是涉及含參討論單調性的問題，不會出現意外，輕輕松松解決，根本不需要動腦子，並且想出錯都難.

這個東西是我獨家的，其他老師都不會這麽說，當然不是說其他老師都不知道怎麽做這類問題，但是沒有我這麽明確化，程序化，對於老師來說，可能都會做(有一些老師在這裏也容易出錯)。但你不明確化，程序化，讓學生去操作，出錯率可就大大的提高了！

在高考中，不太可能把這三個點都考到，一般會考兩個點，但你不知道他會考哪兩個點，所以三個點都必須掌握，有的同學做這類題，有時候做對了，有時候又做錯了，他把這都歸結成馬虎，熟不知根本就不是馬虎的問題，因為這次考的是這兩個點，而下一次是另外的兩個點，表面上好象題目是一樣的，其實並不是這樣的。

例如

（10山東理）已知函數\(f(x) = \ln x - ax + \frac{{1 - a}}{x} - 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (a \in R)\).

（Ⅰ）當\(a \le \frac{1}{2}\)時，討論\(f(x)\)的單調性；

（Ⅱ）設\(g(x) = {x^2} - 2bx + 4\)當\(a = \frac{1}{4}\)時，若對任意 ，存在 ，使\(f({x_1}) \ge g({x_2})\)，求實數\(b\)取值範圍.

我在用的時候，就會把“當\(a \le \frac{1}{2}\)時”這個條件去掉，因為加上就只考了兩個點，去掉就是三個點。

圓錐曲線（摘錄）

再來看圓錐曲線的例子：

（13北京理）已知 是橢圓 \(\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)上的三個點， 是坐標原點.

（I）當點 是 的右頂點，且四邊形 為菱形時，求此菱形的面積.

（II）當點 不是 的頂點時，判斷四邊形 是否可能為菱形，並說明理由.

第一問簡單，在這裏就不說了.第二問有一種特別通用的方法，大部分圓錐曲線的大題都能夠用這種方法解決，當然每個老師都會講這種方法，但是我的獨特之處是：

第一、我明確的告訴學生這種方法是“三步走”，第一步幹什麽第二步幹什麽第三步幹什麽；

第二、這裏其中有一步是把直線方程和曲線方程聯立，那麽遇到多條直線時，你把哪一條直線和曲線聯立呢？我會教會學生如何去挑選，明確給出挑選的標準和原則，這一道題就是這種情況，要是挑錯了是解不出來的，如果要降低難度，出題人就會把那一條直線明確的給你，如北京文科：

（13北京文）直線\(y = kx + m\)\((m \ne 0)\)與橢圓\(W:\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)相交於\(A\)，\(C\)兩點，\(O\)為坐標原點.

（Ⅰ）當點\(B\)的坐標為\((0,1)\)，且四邊形\(OABC\)為菱形時，求\(AC\)的長；

（Ⅱ）當點\(B\)在\(W\)上且不是\(W\)的頂點時，證明：四邊形\(OABC\)不可能為菱形.

這兩道題還可以用另外兩種方法去解決，我還會教給學生如何去區分應該先試哪種方法，怎樣計算會簡單，在哪一步一定會出現什麽，否則就是算錯了，應該回去檢查。

這樣就算完了嗎？還沒有呢？我還會把問題引向深入，引導學生如果把題目中的“菱形”換成“矩形”，又將怎樣？

上面重點說的是最常考的方法，那麽不常考的呢？

2014年高考北京就考了不常考的（文科理科全是這樣），所用的方法除了上面那道題有所提及之外，我還另外講了更典型的利用這種不常考方法解決問題的例題，並且我還強調了，如果只出現曲線上一個點，根本就沒有曲線上其他點什麽事，那麽“那種常考的方法”肯定失效，則只能用“這種不常考的方法”去解決。

2014年的北京高考試題如下：

（14北京理）已知橢圓\(C:{x^2} + 2{y^2} = 4\)，

（1）求橢圓\(C\)的離心率.

（2）設\(O\)為原點，若點\(A\)在橢圓\(C\)上，點\(B\)在直線\(y = 2\)上，且\(OA \bot OB\)，求直線\(AB\)與圓\({x^2} + {y^2} = 2\)的位置關系，並證明你的結論.

（14北京文）已知橢圓\(C:{x^2} + 2{y^2} = 4\)，

（1）求橢圓\(C\)的離心率.

（2）設\(O\)為原點，若點\(A\)在橢圓\(C\)上，點\(B\)在直線\(y = 2\)上，且\(OA \bot OB\)，求線段\(AB\)長度的最小值.

我所講的其中一道試題如下：

設橢圓\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{1 - {a^2}}} = 1\)的焦點在\(x\)軸上

（Ⅰ）若橢圓\(E\)的焦距為1，求橢圓\(E\)的方程；

（Ⅱ）設 分別是橢圓的左、右焦點，\(P\)為橢圓\(E\)上第一象限內的點，直線\({F_2}P\)交\(y\)軸與點\(Q\)，並且\({F_1}P \bot {F_1}Q\)，證明：當\(a\)變化時，點\(P\)在某定直線上.

可以看到是多麽的一致！

篇幅所限，無法把每年的高考試題都展現出來與我的教學試題進行對比，這裏重點展現的是我的教學思路與高考數學試題的出題思路。

可以說，學生只要把我所講的方法真正掌握了，按照我所講的方法去做，就高考範圍而言，應該說基本就沒什麽問題了。

教學細節介紹