ace bool hint etc vector 註意 維護 個數 font

Description

osu 是一款群眾喜聞樂見的休閑軟件。 我們可以把osu的規則簡化與改編成以下的樣子: 一共有n次操作，每次操作只有成功與失敗之分，成功對應1，失敗對應0，n次操作對應為1個長度為n的01串。在這個串中連續的 X個1可以貢獻X^3 的分數，這x個1不能被其他連續的1所包含（也就是極長的一串1，具體見樣例解釋） 現在給出n，以及每個操作的成功率，請你輸出期望分數，輸出四舍五入後保留1位小數。

Input

第一行有一個正整數n,表示操作個數。接下去n行每行有一個[0,1]之間的實數，表示每個操作的成功率。

Output

只有一個實數，表示答案。答案四舍五入後保留1位小數。

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

HINT

【樣例說明】
000分數為0，001分數為1，010分數為1，100分數為1，101分數為2，110分數為8，011分數為8，111分數為27，總和為48，期望為48/8=6.0
N<=100000

Source

考慮遞推，用立方差公式轉移，同時要維護E(x^3)，E(x^2)，E(x)，E(1)。

考慮第i次操作，設操作前末尾最長的1長度為x。

（1）如果操作失敗，貢獻為0；

（2）如果操作成功，貢獻為(x+1)^3 - x^3。

那麽期望為(1 - pi) * 0 + pi * ((x+1)^3 - x^3)。

化簡一下答案為pi * ((x+1)^3 - x^3)。

註意我們並不知道x^3具體是多少，但是我們可以算出x^3的期望是多少，而且根據期望我們知道這樣算出來一定是我們想要的結果。

假設我們已經知道E(x^3)，如何計算E((x + 1)^3)？考慮遞推。

E(x^3) = 0^3 * P(x = 0) + 1^3 * P(x = 1) + ... + maxl^3 * P(x = maxl)

E((x + 1)^3) = 1^3 * P(x = 0) + 2^3 * P(x = 1) + ... + (maxl + 1)^3 * P(x = maxl)

將第二個式子用二項式定理展開，然後將第一個式子帶入，可以得到

E((x + 1)^3) = E(x^3) + 3E(x^2) + 3E(x) + E(1)。

那麽我們同樣遞推維護E(x^2)，E(x)，E(1)就好了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<vector>
 7 using namespace std;
 8 const int MAXN=100001;
 9 const int maxn=0x7fffff;
10 void read(int &n)
11 {
12     char c=‘+‘;int x=0;bool flag=0;
13     while(c<‘0‘||c>‘9‘)
14     {c=getchar();if(c==‘-‘)flag=1;}
15     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)
16     {x=x*10+c-48;c=getchar();}
17     flag==1?n=-x:n=x;
18 }
19 double f[MAXN],g[MAXN],dp[MAXN];
20 int main()
21 {
22     int n;
23     read(n);
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25     {
26         double now;
27         scanf("%lf",&now);
28         f[i]=now*(f[i-1]+1);
29         g[i]=now*(g[i-1]+f[i-1]*2+1);
30         dp[i]=dp[i-1]+now*(g[i-1]*3+f[i-1]*3+1);
31     }
32     printf("%.1lf",dp[n]);
33     return 0;
34 }

BZOJ 4318: OSU!