JPEG壓縮原理與DCT離散余弦變換——有實際的數據演示
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1 前言
JPEG是joint Photographic Experts Group(聯合圖像專家組)的縮寫，文件後輟名為”．jpg”或”．jpeg”。
jpg圖片可以說是最常見的圖片格式了，基本上你的自拍照，要麽是png的，要麽就是jpeg的了。（有關jpeg和png的區別，請參考我的另一博文【jpeg 與 png 圖片格式的區別】）
但它是一種有損壓縮。支持多種壓縮級別，壓縮比率通常在10：1到40：1之間，壓縮比越大，品質就越低；相反地，壓縮比越小，品質就越好。
那麽，JPEG是如何壓縮的呢？靠的就是傳說中的DCT(離散余弦變換)。
下圖是JPEG壓縮/解壓縮的流程圖。我想你最大的疑問估計就是DCT了。
2 JPEG壓縮流程
2.1 以8x8的圖象塊為基本單位進行編碼
如下圖所示。比如一個160x160大小的原始圖像，就可以分成20x20個8x8圖像塊。 
每個圖像塊共64個像素。像素可以用RGB或YUV表示，需要3個byte。所以嚴格來說，上圖3個箭頭代表的數據，指的是RGB/YUV的某一個值，比如Y。
2.2 將RGB轉換為亮度-色調-飽和度系統（YUV），並重新采樣
YUV是什麽？它也是一種很不錯的圖像數據表示方法，特別是在視頻領域。
Y：指顏色的明視度、亮度、灰度值；
U：指色調；
V：指飽和度。
YUV是一個統稱，其實有很多具體格式，比如YUV420, YUV444, YUV422。
YUV的某些格式，和RGB比起來，其數據量要少很多。
比如YUV420，每個像素需要一個Y，每4個像素需要一個U/V，因此一個8*8圖像塊，數據量只要8x8x3/2 = 96byte。而RGB需要8x8x3 = 192byte。少了一半的數據量。現在很多視頻都是YUV420作為色域。
當然啦，在本次轉換，用的是YUV444， 也就是每個像素都有YUV的值。
YUV與RGB可以互相轉換。
Y=0.299R+0.587G+0.114B
U=0.148R-0.289G+0.473B
V=0.615R-0.515G-0.1B
2.3 FDCT與IDCT
一個是正變換，一個是逆變換。反正都可以稱為離散余弦變換。
根據8*8的二維DCT定義 
其中：0<= u, v < 8 
a(v) = a(u) 
不要把上式看的有多難，也不要被“離散余弦變換”這個詞給嚇到，其實他沒什麽（如果你非要去追究，那就打開“信號與系統”的書復習一下吧，我攔不住你哈），上式其實就是一個運算公式而已。
輸入就是8x8的數據矩陣，經過計算，輸出還是一個8x8的數據矩陣。
其實上式可以簡化為：
並且A和A轉置矩陣都是已知的。所以，說白了，就是個矩陣運算。對程序來說，很簡單。
稱G（0,0），也就是輸出8x8矩陣的（0,0）坐標的值，為直流系數，其他為交流系數。
之所以稱它為直流系數，是因為當u, v = 0時，cos()結果都為0，所以最後結果就是輸入矩陣的8x8的每個數值的和，再乘於a(u) x a(v) x 1/4 = 1/8。
當然了，輸入數據其實是有3個的，也就是YUV，因此對每個8x8的原始圖像數據，需要做3次DCT。
2.4 量化與反量化
定義：將DCT變換後的臨時結果，除以各自量化步長並四舍五入後取整，得到量化系數。
為什麽可以量化？！
因為經過DCT後，數據就不同了，左上方都是大數值，右下方都是小數值。比如左上方都是幾十幾百的，右下方附近，都是個位數，那麽，大數值和小數值就可以分別量化。
在術語裏，左上方稱為低頻數據，右下方稱為高頻數據。
你要是不理解，可以這麽想，既然G（0,0）都是直流分量了，那頻率不就是0？不就是所謂的低頻？^^
還是不理解？好吧，那你也可以這麽想：
比如cos(ax)，a是常數，x是變量。那麽，根據頻率f = a/2π，a越大，函數的頻率越高。
看看DCT公式：
u,v 越大，則越在右下方對吧。當計算某個G(u, v)時，x, y是變量，u, v相當於常數，當u/v越大，則頻率越高！
這就是為啥右下方稱為高頻數據了！
好了，別走偏了，還繼續說量化。
JPEG系統分別規定了亮度分量和色度分量的量化表，色度分量相應的量化步長比亮度分量大。
對量化系數的處理和組織
思想：JPEG采用定長和變長相結合的編碼方法。
直流系數：通常相鄰8*8圖象塊的DC分量很接近，因此JPEG對量化後的直流分量采用無失真DPCM編碼。通常JPEG要保存所需比特數和實際差值。
交流系數：經過量化後，AC分量出現較多的0。JPEG采用對0系數的行程長度編碼。而對非0值，則要保存所需數和實際值。
ZIG-ZAG排序：為使連續的0個數增多，采用Z形編碼。
你要是不理解，看看下面的例子，就知道為啥ZIG-ZAG可以俘獲更多的0了！
3 應用舉例
3.1 編碼
某個圖象的一個8*8方塊，的亮度值。
由於一個字節是0~255，為了減小絕對值波動，先把數值移位一下，變成-128~127。
接著，根據DCT變換公式，各種計算，獲得臨時結果。
根據亮度量化表量化後得到的量化系數矩陣
獲得量化結果：
可見，新的數據，很小，很多是0。正如上文所說，這麽多0，完全可以用遊程編碼，大大縮小數據量。
3.2 解碼
先遊程編碼恢復為
然後，根據量化表，恢復
再根據反離散余弦變換的公式：
結果為：
再右移127，恢復原始。
和原始圖像的數據相比，基本是一樣的，或者近似的！
4 其他
必須再強調的是，JPEG壓縮是有損失的，從上面的例子就看出來，輸出結果並不是完全等於輸入。
此外，JPEG壓縮比例是可以控制的，只不過圖像質量會變差。比如
壓縮率：10
壓縮率：50
JPEG壓縮比例，就是通過控制量化的多少來控制。比如，上面的量化矩陣Q，如果我把矩陣的每個數都double一下，那是不是會出現更多的0？！說不定都只有G(0, 0)非0，其他都是0，如果這樣，那編碼時就可以更省空間啦，N個0只要一個遊程編碼搞定，數據量超小。但也意味著，恢復時，會帶來更多的誤差，圖像質量也會變差了。
參考：
https://en.wikipedia.org/wiki/JPEG#Discrete_cosine_transform
JPEG壓縮原理與DCT離散余弦變換——有實際的數據演示