某次模擬賽 交換
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題目描述 Description |
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給定一個{0, 1, 2, 3, … , n - 1}的排列 p。一個{0, 1, 2 , … , n - 2}的排列 q 被認為是優美的排列，當且僅當 q 滿足下列條件： |
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輸入描述 Input Description |
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第一行一個正整數 n. |
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輸出描述 |
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僅一行表示答案。 |
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樣例輸入 Sample Input |
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3 |
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樣例輸出 Sample Output |
1 |
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數據範圍及提示 Data Size & Hint |
| 30%: n <= 10
100%: n <= 50 |
之前的一些廢話：《摔跤吧爸爸》這部電影真是太感動了
題解：還是覺得這種題挺難的，考試時候想不到正解的話花幾分鐘把30分拿了其實也挺爽的。
控制交換次數為n-1，所以我們可以這麽考慮：考慮倒著處理，比如交換 (i, i + 1)，那麽前面的所有數不管怎麽交換都無法到後面去(下標恒小於等於 i)，後面的數也是一樣到不了前面。說明這最後一次交換前，就要求對於所有的 x <= i, y > i，px<py。所以交換前左邊的數是連續的，右邊也是連續的。由於交換前，前面和後面的數是互相不幹涉的，所以就歸結成了兩個子問題。（這段話是搬運題解而來的）
想到這裏，就不太難了，很明顯的區間DP：dp[i][j]表示將當前序列的第i個數到第j個數換成最終序列的方案數，只要區間長度確定了，那麽交換次數也確定了，所以沒有必要再單開一個狀態來存交換次數。根據區間DP的套路，轉移肯定是枚舉中間點，但是還有一個限制：假如要在[L,R]中選取第k和第k+1個數進行交換，那麽交換之後[L,K]中的數是再也不可能換到K以後了的，[K+1,R]中的數也不可能換到K+1以前了，所以需要保證交換第k和第k+1個數後，新序列中[L,K]的數都小於等於K，而[K+1,R]的數都大於K。只有滿足以上限制的才能進行轉移。轉移方程是：dp[L,R]+=dp[L,K]*dp[K+1,R]*C(R-L,K-L-1),至於為什麽要乘上一個組合數...自己想一想吧。
然後需要一個組合數預處理。
代碼：目前暫時無法得到。。
總結：突破口在於控制交換次數，算是一種經驗吧。
某次模擬賽 交換