【bzoj2111】[ZJOI2010]Perm 排列計數 dp+Lucas定理
阿新 • • 發佈：2017-08-16
最小 ++ col pri turn con return 其余 計數
題目描述
稱一個1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Mogic的，當且僅當2<=i<=N時，Pi>Pi/2. 計算1，2，...N的排列中有多少是Mogic的，答案可能很大，只能輸出模P以後的值
輸入
輸入文件的第一行包含兩個整數 n和p，含義如上所述。
輸出
輸出文件中僅包含一個整數，表示計算1,2,?, n的排列中， Mogic排列的個數模 p的值。
樣例輸入
20 23
樣例輸出
16
題解
dp+Lucas定理
題目顯然小根堆，考慮怎麽求以一個節點為根的方案數。根肯定是最小的節點，剩余$n-1$個數選擇左子樹大小個作為左子樹，其余作為右子樹。
設$f[i]$表示以i為根的子樹形成小根堆的方案數，那麽$f[i]=C_{si[i]-1}^{si[i<<1]}*f[i<<1]*f[i<<1|1]$。
註意處理某子樹為空的方案數。
另外本題沒有保證$n\le p$，故組合數需要使用Lucas定理求出。
#include <cstdio>
#define N 1000010
typedef long long ll;
ll fac[N] , inv[N] , fin[N] , f[N << 1] , si[N << 1];
int p;
ll choose(int n , int m)
{
if(n < m) return 0;
if(n < p && m < p) return fac[n] * fin[m] % p * fin[n - m] % p;
else return choose(n / p , m / p) * choose(n % p , m % p) % p;
}
int main()
{
int n , i;
scanf("%d%d" , &n , &p);
fac[0] = fac[1] = inv[1] = fin[0] = fin[1] = f[0] = 1;
for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
fin[i] = fin[i - 1] * inv[i] % p;
}
for(i = n ; i ; i -- )
{
si[i] = si[i << 1] + si[i << 1 | 1] + 1;
f[i] = choose(si[i] - 1 , si[i << 1]) * ((i << 1) > n ? 1 : f[i << 1]) % p * ((i << 1 | 1) > n ? 1 : f[i << 1 | 1]) % p;
}
printf("%lld\n" , f[1]);
return 0;
}
【bzoj2111】[ZJOI2010]Perm 排列計數 dp+Lucas定理