題目概述

如果 ai=i 則 i 是穩定的。給出 n,m ，求穩定數為 m 的 n 的排列的個數。

解題報告

其實很簡單……先選出 m 個穩定位置，然後另外 n−m 強制不穩定。

強制不穩定也就是 ai≠i ，即錯排。

錯排遞推公式： D(0)=1,D(1)=0，D(i)=(i−1)[D(i−2)+D(i−1)] 。
推導：將 i 放在 k(k≠i) 上，有 i−1 種方法。
然後若 k 在 i 上，則剩下 i−2 個數錯排，方案數 D(i−2) 。
否則就當 k 是 i ，進行錯排，方案數 D(i−1) 。

示例程式

#include<cstdio>
#include<cctype>
 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1000000,MOD=1e9+7;

int te,n,m,fac[maxn+5],INV[maxn+5],D[maxn+5];

#define Eoln(x) ((x)==10||(x)==13||(x)==EOF)
inline char readc()
{
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF;return
 
 *l++;
}
inline int readi(int &x)
{
    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';
    while (!isdigit(ch)) {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}
    if (lst=='-') f=-f;
    while (isdigit(ch)) tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();
    return x=tot*f,Eoln(ch);
}
void Make()
{
    INV[0
 
]=INV[1]=1;for (int i=2;i<=maxn;i++) INV[i]=MOD-(LL)(MOD/i)*INV[MOD%i]%MOD;
    fac[0]=fac[1]=1;for (int i=2;i<=maxn;i++) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD,INV[i]=(LL)INV[i-1]*INV[i]%MOD;
    D[0]=1;D[1]=0;for (int i=2;i<=maxn;i++) D[i]=(LL)(i-1)*(D[i-1]+D[i-2])%MOD;
}
inline int C(int x,int y) {if (x<y) return 0;return (LL)fac[x]*INV[y]%MOD*INV[x-y]%MOD;}
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    for (Make(),readi(te);te;te--)
    {
        readi(n);readi(m);if (n<m) {puts("0");continue;}
        printf("%lld\n",(LL)C(n,m)*D[n-m]%MOD);
    }
    return 0;
}