補題進度：9/13

1001

　　待填坑

1002（數學推導）

題意

　　有一個按順序的n個點的k叉樹，問每個點子樹個數的異或和是多少（n,k<=1e18）

分析

　　可以先求出最大的d，滿足d以上都是滿K叉樹，最後一層是一些零散的點

　　然後枚舉每一層，每一層的點分為三種，一種是最下面的孩子深度是d+1，一種是部分孩子的深度是d+1，一種是最下面孩子深度都是d，分別統計答案

　　註意特判k=1的時候，這個時候等價於求1^2^3^4^5^6....^n的值

　　我們可以把四個四個放在一組，如果k是一個偶數，那麽k^(k+1)=1，(k+2)^(k+3)=1，所以k^(k+1)^(k+2)^(k+3)=1^1=0

　　所以1異或到n的值是和n%4的值有關

1003（神奇套路）

題意

　　有一個n行m列的棋盤，最初每個位置是指定的紅色或藍色或白色。你要將白色的位置染成紅色或藍色，使得對於任意一個長寬均為偶數的連續子棋盤，其中紅色和藍色的位置數相等。(1<=m,n<=1000)

分析

　　題解給出了很神奇的套路

　　首先“任意一個長寬均為偶數的連續子棋盤”，我們只需要考慮邊長為2的小棋盤，邊長為4、6、8的這些都是若幹個2*2的拼起來的

　　我們設紅色是0，藍色是1，對於棋盤上的(x,y)，如果x+y是奇數並且該位置不是?，那麽就把這一位置顏色反轉

　　我們發現原來任意一個2*2的子棋盤合法等價於現在新的任意一個2*2的子棋盤對角線上的和相同

　　進一步發現這等價於：要麽新棋盤的每一行上的數都各自相同，要麽新棋盤的每一列上的數都各自相同

　　於是就可以計算答案了

　　具體實現的時候，我們可以記錄每一行、每一列的顏色占用情況，如果發現同一行出現了兩種固定顏色，那麽說明每一行顏色各自相同這個是不可能的了；列的情況也是同理

　　最後計算結果就是2^自由行個數 + 2^自由列個數，但是要除去一些重復情況，如果固定顏色中只出現了一種，那麽最終答案需要減去一；如果固定顏色兩種都沒出現，那麽答案要減去二

1004

　　待填坑

1005（數學題）

題意

　　給定正整數a，求對於所有正整數b，a mod b有多少種可能的結果。1<=a<=1e9

分析

　　顯然小於a/2的所有數c都可以作為結果，只需要取b=a-c，另外a本身也可以

　　所以答案就是(a-1)/2+2

1006（狀壓DP）

題意

　　求從不大於n的所有正整數中選出至少1個且至多k個使得乘積不包含平方因子的方案數(1<=n,k<=500)

分析

　　此套路出自於NOI2015壽司晚宴

　　我們可以把它看做一個背包問題，我們將500以內所有質因數都壓縮成二進制位，然後就相當於有500個物品，取或者不取，取了的話要保證質因數集合每個位不能超過1

　　但是問題是500以內的素數有90多個，無法壓縮成二進制位

　　我們可以將sqrt(500)以內的素數壓縮成二進制位(8個)，為什麽這樣呢？因為1~500裏的所有數字，其大於sqrt(500)的質因數頂多只有一個

　　於是對於1~500以內所有素數我們都可以把它看做一個包，對於1~500內的所有無平方因子數x，我們都可以求出其最大質因數y，把x對於前8個素數的分解情況丟入背包y種，把這個作為背包y中的一個物品

　　特別的，如果2*3*5這種全部是由前8個素數乘積構成的數，那就丟到其本身的那個背包

　　現在問題就相當於是有若幹個背包，每個背包裏的物品我只能選一個（因為如果多選會造成該較大質因子重復），然後求前八個素數分解情況不沖突的方案數

　　很經典的分組背包了，dp[i][s][k]表示前i個包，目前前8個素數選擇情況為s，選了k個數的方案數

　　第一維滾動掉即可

1007（網絡流）

題意

　　有n個小朋友，標號為1到n，你要給每個小朋友至少1個且至多m個的糖果。小朋友們共提出k個要求，每個要求包括三個整數x,y,z表示x號小朋友得到的糖果數減去y號小朋友得到的糖果數，結果應當不大於z。如果你給i號小朋友j顆糖果，他會獲得w(i,j)的滿意度，你需要最大化所有小朋友的滿意度和。1<=n,m<=50,1<=k<=150,1<=w(i,j)<=1000

分析

　　來自題解的建圖方法。

　　容易想到拆點，用i.j這點表示給第i個孩子至少j塊糖，當這個點屬於S集合時所代表條件成立。然後i.j->i.j+1連1000-wi,j，i.m向T連1000-wi,m，S向i.1連inf。如果存在ax-ay>=z，x.k->y.k+z連inf。跑最小割，再用n*1000減掉答案。

1008（計算幾何）

題意

　　平面直角坐標系上有n個整點，第i個點有一個點權val[i],坐標是(xi,yi)，?其中不存在任意兩點連成的直線經過原點。這些整點兩兩之間連有一條線段，線段的權值為其兩端點的權值之積。你需要作一條過原點而不過任意一個給定整點的直線，使得和這條直線相交的線段的權值和最大。1<=n<=5e4,1<=val<=10^4,|xi|,|yi|<=1e9

分析

　　很容易想到極角排序，答案的統計就是直線兩邊點集權值和的乘積，所以O(n)掃一圈就可以了

　　註意的一點是直線從-π到π的過程中，直線的另一邊可能從第二象限跳到第三象限，所以提前將前n個點接到第n個點後面，極角+2π

1009（二次剩余）

　　隊友補了，不管了

1010（找規律）

題意

　　有一個長度為n的整數序列an，對其做m次前綴異或和，求最終的序列(1<=n<=2e5,1<=m<=1e9)

分析

　　dp[i][j]=dp[i-1][j]^dp[i][j-1]=dp[i-2][j]^dp[i-1][j-1]^dp[i-1][j-1]^dp[i][j-2]=dp[i-2][j]^dp[i][j-2]

　　進一步歸納可以得到dp[i][j]=dp[i-2^k][j]^dp[i][j-2^k]

　　這只需要從1~m倍增就行了

　　時間復雜度O(nlogm)

1011（模擬）

　　略，根據題意的構造方式模擬即可

1012

　　待填坑

1013

　　待填坑

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