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小菜一碟的背包
題目描述
有n頭奶牛，每頭奶牛有食量w[i]和產奶量v[i]，每天能夠提供W千克草料。選取奶牛使產奶總量盡可能大，問最大是多少。
輸入格式
第一行兩個整數 ，表示奶牛的數量和每天最多能提供的草
接下來i行，每行兩個整數，第i行表示第I頭奶牛的產奶量和食量
輸出格式
僅一行，輸出一個整數，表示每天最大的總產奶量
輸入樣例
8 40
10 9
12 11
11 12
10 10
8 11
7 9
8 10
9 10
輸出樣例
41
限制與約定
對於所有數據，1 ≤ n ≤ 100,1 ≤ wi,W ≤ 10^9,1 ≤ vi ≤ 10^7,w1 ≤ wi ≤ w1 + 3.

並不是小菜一碟...

由於W的範圍太大，不能用常規的01背包來做。

註意到w[]的波動範圍很小，所以我們可以將所有的w減去一個基數，f[i][j][k]表示前i頭奶牛中選取j頭，其食量（減去基數之後的）和為k。

逆向轉移。狀態轉移方程：f[i][j][k] = max(f[i+1][j][k],f[i+1][j+1][k+w[i+1]]+v[i+1]);

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 
 5 const
 
 int MAXN = 105;
 6 
 7 inline void read(int &x)
 8 {
 9     char ch = getchar(),c = ch;x = 0;
10     while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) c = ch,ch = getchar();
11     while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘) x = (x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch = getchar();
12     if(c == ‘-‘) x = -x;
13 }
 
14 long long f[MAXN][MAXN][305];
15 bool vis[MAXN][MAXN][305];
16 //choose j cows sum value
17 int w[MAXN],v[MAXN],n,W;
18 int mn = 2e9;
19 
20 int dp(int i,int j,int k)
21 {
22     if (1LL*j*mn+k>W) return -2e9;//裝不下了 
23     if(i == n)    return 0;//已經全部嘗試完 
24     if(vis[i][j][k]) return f[i][j][k];
25     vis[i][j][k] = true;
26     return f[i][j][k] = std::max(dp(i+1,j,k),dp(i+1,j+1,k+w[i+1])+v[i+1]);
27 }
28 
29 int main()
30 {
31     read(n),read(W);
32     for(int i = 1;i <= n;++ i)
33         read(v[i]),read(w[i]),mn = std::min(w[i],mn);
34     mn --;//mn就是基準數 
35     for(int i = 1;i <= n;++ i)
36         w[i] -= mn;
37     printf("%d\n",dp(0,0,0));
38 }

2017山東夏令營測驗 D5T1 題解