常見的DP優化類型

1單調隊列直接優化

如果a[i]單調增的話，顯然可以用減單調隊列直接存f[j]進行優化。

2斜率不等式

即實現轉移方程中的i,j分離。b單調減，a單調增（可選）。

令：

在隊首，如果g[j,k]>=-a[i]，那麽j優於k，而且以後j也優於k，因此k可以重隊列中直接刪去。在隊尾，如果x<y<z,且g[x,y]<=g[y,z]，也就是說只要y優於x一定可以得出z優於y的，我們就刪去y。

經過隊尾的篩選，我們在隊列中得到的是一個斜率遞減的下凸包，每次尋找從上往下被-a[i]斜率的線所掃到的第一個點，a[i]單調的話通過隊首的維護我們可以在均攤O(1)的時間內找到這個點。值得註意的是，即使a[i]不單調，我們仍然可以通過二分在O(log n)的時間內找到轉移點。

高維的場合和低維並沒有區別。只要使用斜率和單調隊列優化，一定可以降一維。高維時可以沒有j<i的限制，這時我們理解成若幹條b[j]*x+f[j]的直線形成一個下凸包求值器，然後帶入一個a[i]作為x計算得的結果就是答案，時間是O(nlogn)。

3下凸包求值器(CF-455E)

這是一種很奇怪的情況。有些時候，問題可以轉化成給定一堆直線K[i]*X+B[i]，每次詢問選擇連續的一段[a..b]和一個x，求最小值。

做法是構造一個下凸包求值器，實現對給定x求值和合並兩個功能，內部實現是按K排好序的線段序列。然後線段樹每個節點維護一個求值器。這樣可以在O(nlognlogn)的時間內解決問題。

4分治優化

元素的分組合並問題通常擁有以上的形式。優化的條件是A[i,j]的單調性，也就是說A[i,j]<=A[i,j+1]。也即要求C[k,j]滿足四邊形不等式C[a,c]+C[b,d]<=C[a,d]+C[b,c] 。（含義是：越晚並入新元素，並入的組尺寸越小，其額外代價越小。這裏四邊形不等式已經是充分條件了，不需要區間單調）

優化的偽代碼如下：

compute(i,l,r,ol,or)

1. 令m=(l+r)>>1

2. 尋找k=ol..or,使得dp[i,m]=dp[i-1,k]+C[k,m]最小

3. 如果l==r，返回。否則執行compute(i,l,m-1,ol,k);compute(i,m+1,r,k,or);

5四邊形不等式

四邊形不等式優化應用於區間DP：

要求C[i,j]滿足四邊形不等式C[a,c]+C[b,d]<=C[a,d]+C[b,c]和區間單調性C[b,c]<=C[a,d]。註意這裏的C不在轉移方程的內部，而是一個定值。

滿足上件的前提下，有A[i,j-1]<=A[i,j]<=A[i+1,j]（關鍵條件），因此可以優化。優化方法為以|i-j|的遞增順序DP，同時記錄各個A[i,j]值，枚舉時在A[i,j-1]和A[i+1,j]的區間卡內枚舉。

6矩陣優化

一眼能看出來就是快速冪。多為期望或概率DP。

7線段樹優化

通常是有不確定的強制轉移的場合。如FAFU1231。

此時因A[i],B[i]欠缺單調性，單調隊列的使用受到限制，用線段樹即可解決。如斜率優化中摻雜此種限制，則同上3.

常見的DP優化類型