網絡流之最小割

上一篇關於最大流總結中，關於最大流正確性的證明是純屬搞笑的，只是邏輯上的理解與思考。下面需要討論一下關於最大流正確性的嚴格證明。

最小割問題與之前的最大流問題有著很深的聯系。

假設在原圖中，刪掉某些邊，能夠使得從s出發到不了t，則這些邊的集合被稱作圖的割。

定義在殘余網絡中，從s及s出發可達的點v組成的集合為S，其余點組成的集合為T。

定義最小割，為容量和最小的割。

由算法可知，對於任意流f而言，（f的流量）= (S的出邊總流量)-（S的入邊總流量），由此可知，(f的流量)<=(最小割容量)。

那麽，如果能夠證明，最大流等於最小割，則就可以證明最大流為最優解了。

如何證明？如果在殘余網絡中的S-T路徑中，仍然存在流量上限不為0的正向邊，則答案可以更優。然而這種情況是不存在的。由S集合的定義可知，如果存在這樣的邊，則那條路徑的端點都應在S集合。類似的，T-S路徑中，流量上限不為0的反向邊也是不存在的。

因此，最大流就等於最小割，證明了Ford-Fulkerson的正確性。該性質被叫做最大流最小割定理。因此，在遇到求解最小割的題目時，就可以用求解最大流的辦法來做了。

但值得註意的是，對最小割方案的打印，與最大流不同（本身原理就不同，只不過值相等）。我們割的那些邊，實際就是殘余網絡中從S集合連向T集合的邊，即左端點被訪問過，右端點未被訪問過的邊。

下面是幾道習題~（留了好久的坑……）

　　網絡流24題之方格取數問題

網絡流24題之飛行計劃問題

網絡流之最小割