高維網絡

【題目描述】
現在有一個 d 維的坐標網格，其中第 i 維坐標的範圍是[0,a_i]。在這個範圍內建立一個有向圖：我們把範圍內的每個整點（每一維坐標均為整數的點）當做圖上的頂點。設點 A(0,0,?,0),B(a_1,a_2,?,a_d)。對於範圍內的點(x_1,x_2,?,x_d)，它會向以下這些點（如果目標點在範圍內）連有向邊：(x_1+1,x_2,?,x_d),(x_1,x_2+1,?,x_d),?,(x_1,x_2,?,x_d+1)
現在從點 A 到點 B 會有若幹條路徑，路徑的條數可以十分簡單地算出。然而不幸的是，範圍內有 p 個點被破壞了（點 A 和點 B 不會被破壞） ，其中第 i個點的坐標為(x_(i,1),x_(i,2),?,x_(i,d))。你需要算出從點 A 到點B 剩余的路徑條數。
由於答案可能很大，你只需要輸出它對 1,000,000,007 取模的結果。
【輸入格式】
第一行為兩個整數 d，p。
第二行為 d 個整數，其中第 i 個數是 a_i。
接下來 p 行，每行 d 個整數，其中第 i 行第 j 個數是 x_(i,j)。
【輸出格式】
一個整數，表示從點 A 到點 B 剩余的路徑條數對 1,000,000,007 取模的結果。
【輸入樣例】
2 1
2 1
1 0
【輸出樣例】
1
【數據範圍】

30分算法
? 在前30分當中，數據規模非常小，可以暴搜每條路線。

d=1的算法
? 對於d=1的情況，如果沒有點被破壞則答案是1，否則答案是0。

p=0的算法

?運用排列組合公式：二維：C(n,n+m)；

多維：

階乘可以暴力算，註意除法要用逆元（費馬小定理求逆元）算。

【題解】【dp+組合數+容斥原理】
【f[i]表示從A到i不經過被破壞的點的路徑條數；g[i][j]表示從i到j可以經過的被破壞的點的方案數（可以用組合數求）】
【g[i][j]：（各維度權值之和的階乘）/（各維度階乘之積），如二維情況：（行數+列數）！/（行數！×列數！）】
【f[i]＝總路徑條數－不合法，f[x]=g[A][x]-Σf[y]*g[y][x]】
【最後輸出f[B]】

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstdlib>
  4 #include<algorithm>
  5 #define man 10000010
  6 #define sc(x) scanf("%d",&x)
  7 #define ll long long
  8 #define mod 1000000007
  9 using namespace std;
 10 struct node
 11 {
 12     int x[110];
 13     }a[510];//每個點的坐標
 

 14 ll mi[man],sum[510],f[510],g[510][510],h[510];
 15 /*
 16     mi[]:求i的階乘；
 17     sum[]:每個點的坐標和（為了之後的p=0做準備）；
 18     f[]:從A到i不經過被破壞的點的路徑條數；
 19     g[][]:從i到j可以經過的被破壞的點的方案數（可以用組合數求）;
 20     h[]:每兩個點坐標之間的差值；
 21     */
 22 int d,p;
 23 int cmp(node a,node b)
 24 {
 25     for(int i=1;i<=d;i++)
 26     {
 27         if(a.x[i]<b.x[i])return 1;
 28         if(a.x[i]>b.x[i])return 0;
 29         }
 30     }
 31 //    cmp：從一維開始從小到大排序；
 32 inline void pow1()
 33 {    mi[0]=1;
 34     for(ll i=1;i<=10000000;i++)
 35         mi[i]=(mi[i-1]*i)%mod;
 36     }
 37 //pow1:計算階乘；
 38 ll bpow(int a,int b)
 39 {
 40     ll ans=1,base=a;
 41     while(b)
 42     {
 43         if(b&1) ans=ans*base%mod;
 44         base=base*base%mod;
 45         b>>=1;
 46         }
 47     return ans;
 48     }
 49 //快速冪；
 50 inline void solve()
 51 {
 52     for(int i=1;i<=p;i++)
 53     {
 54         ll t=mi[sum[i]];
 55         ll t1=1;
 56         for(int j=1;j<=d;j++)
 57             if(a[i].x[j])
 58                 t1=(t1*mi[a[i].x[j]])%mod;
 59         ll ans=bpow(t1,mod-2);
 60         g[0][i]=t*ans%mod;
 61         }//運用費馬小定理計算從A點至各點的路徑總數；
 62     for(int i=1;i<=p;i++)
 63         for(int j=1;j<=p;j++)
 64         {
 65             ll tot=0;bool b=1;
 66             for(int k=1;k<=d;k++)
 67             {
 68                 h[k]=a[j].x[k]-a[i].x[k];
 69                 tot+=h[k];
 70                 if(h[k]<0) //因為是單向邊（從i至j）,所以j-i的坐標差>=0;
 71                 {
 72                     b=0;
 73                     break;
 74                     }
 75                 }
 76                 if(!b) continue;
 77                 ll t=mi[tot];
 78                 ll t1=1;
 79                 for(int k=1;k<=d;k++)
 80                     if(h[k]) t1=(t1*mi[h[k]])%mod;
 81                 ll ans=bpow(t1,mod-2);
 82                 g[i][j]=t*ans%mod;
 83             }//運用費馬小定理求兩點之間路徑總數；
 84     return ;            
 85     }
 86     
 87 int main()
 88 {    freopen("cube.in","r",stdin);
 89     freopen("cube.out","w",stdout);
 90     sc(d);sc(p);
 91     p++;
 92     for(int i=1;i<=d;i++)
 93         sc(a[p].x[i]);//每維極值相當於B點（終點）坐標；
 94     for(int i=1;i<=p-1;i++)
 95         for(int j=1;j<=d;j++)
 96             sc(a[i].x[j]);
 97     sort(a+1,a+1+p,cmp);
 98     for(int i=1;i<=p;i++)
 99         for(int j=1;j<=d;j++)
100         {sum[i]+=a[i].x[j];sum[i]%=mod;}
101     pow1();
102     solve();//預處理g[i][j];
103     for(int i=1;i<=p;i++)
104     {
105         f[i]=g[0][i]%mod;
106         for(int j=1;j<i;j++)
107             f[i]=(f[i]-f[j]*g[j][i])%mod;
108         f[i]=(f[i]%mod+mod)%mod;
109         }
110     cout<<f[p]<<endl;
111     return 0;
112     }

費馬小定理：a/b mod p ==a* b^p-2 mod p;

證明略。

STREAMING #5 題解 3.高位網絡