什麽是反函數

　　一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^-1(x) 。反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。

　　例1：y=2x-1的反函數是y=0.5x+0.5
　　y=2^x的反函數是y=log₂x

　　例2：求函數3x-2的反函數

　　y=3x-2的定義域為R,值域為R.
　　由y=3x-2解得
　　x=1/3(y+2)
　　將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數是y=1/3(x+2)

反函數的性質

　　這個厲害了，反函數一般具有以下幾種性質：
　　1、互為反函數的兩個函數的圖象關於直線y=x對稱；
　　2、函數存在反函數的充要條件是，函數在它的定義域上是單調的；
　　3、一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；
　　4、偶函數一定不存在反函數，奇函數不一定存在反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。
　　5、一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性；
　　6、嚴格增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數【反函數存在定理】。

　　7、反函數是相互的
　　8、定義域、值域相反對應法則互逆
　　9、不是所有函數都有反函數如y=x的偶次方（不滿足第2條如y=x2在x<=0時是遞減的，在x>=0時是遞增的）

反函數求導

　　用隱函數微分法可以求導任意反函數，只要我們知道原函數的導數。

示例1：(tan^-1x)’

　　y = tan^-1x = arctanx，定義域是(-π/2, π/2)，值域是(-∞,+∞)，原函數是tany = x

　　先來看圖形，中間的紅色曲線是定義域是(-π/2, π/2)時tanx的曲線，藍色曲線是其對應的反函數y = arctanx

　　以下是y = tan^-1x求導過程：

　　上式等價於tany=x，求導等價於對tany=x求導。對隱函數tany=x兩側同時求導：

　　在上圖直角三角形中，tany=a/b，siny=a/c，cosy=b/c，由此，tany=siny/cosy。代入（1）：

　　在上圖直角三角形中，，代入（2）：

　　y是x的函數，我們需要將y替換成x，如果直接替換，將得到cos²(tan^-1x)，可以對其化簡，但這很繁瑣，所以還是回到直角三角形中考慮使用更簡單化簡的方法。

　　由於tany=x，所以將直角三角形中的兩個直角邊分別設為x和1，這樣就可以求得斜邊，由此可以計算cosy：

示例2：(sin^-1x)’

　　作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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數學筆記——導數4（反函數的導數）