題意

給出平面上三塊不相交的從左上到右下排列的三塊區域，求分別從這三個區域中挑一個點構成的路徑方案數的和

做法

首先考慮轉化求路徑的方案數的式子。發現對於從原點出發，到$(x,y)$內所有點的所有可能路徑數就是${x+1+y+1\choose x+1}$，於是可以枚舉中間那個區域選哪個點，然後通過那個點的路徑數可以通過對另外兩個區域分別用二維前綴和來求。優化非常巧妙，這個計數可以轉化為對於每條通過中間區域的路徑乘上在中間區域的點的數量，於是讓通過左邊或上面進入第二塊區域的路徑方案乘上一個負的factor，從下面或右邊出去的乘上一個正的factor（具體看代碼吧），即可達到這個目的。考慮每條通過中間區域的合法路徑，將它出去的factor減去進來的factor，剛好就是在這個區域中通過的點的數量。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 
 4 
 5 int fpow(int b, int i, int m) {
 6     int r = 1;
 7     for (; i; i >>= 1, b = b * 1LL * b % m)
 8         if (i & 1) r = r * 1LL * b % m;
 9     return r;
10 }
11 
12 const int N = 2e6 + 100;
13 const int M = 1e9 + 7
 
;
14 int X[6], Y[6];
15 long long ans;
16 long long fac[N], ifac[N];
17 
18 long long num(int x, int y) {
19     //fprintf(stderr, "%d %d\n", x, y);
20     return fac[x + y] * 1LL * ifac[x] % M * ifac[y] % M;
21 }
22 
23 int numPath0(int x, int y) {
24     //fprintf(stderr, "0: %d %d\n", x, y);
25
 
     long long ret = 0;
26     ret += num(x - X[1], y - Y[1]);
27     ret += num(x - X[0] + 1, y - Y[0] + 1);
28     ret -= num(x - X[0] + 1, y - Y[1]);
29     ret -= num(x - X[1], y - Y[0] + 1);
30     return ((ret % M) + M) % M;
31 }
32 
33 int numPath1(int x, int y) {
34     //fprintf(stderr, "1: %d %d\n", x, y);
35     long long ret = 0;
36     ret += num(X[4] - x, Y[4] - y);
37     ret += num(X[5] - x + 1, Y[5] - y + 1);
38     ret -= num(X[4] - x, Y[5] - y + 1);
39     ret -= num(X[5] - x + 1, Y[4] - y);
40     return ((ret % M) + M) % M;
41 }
42 
43 
44 int main() {
45 #ifdef lol
46     freopen("e.in", "r", stdin);
47     freopen("e.out", "w", stdout);
48 #endif
49 
50     fac[0] = 1;
51     for (int i = 1; i < N; ++i)
52         fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % M;
53     ifac[N - 1] = fpow(fac[N - 1], M - 2, M);
54     for (int i = N - 2; 0 <= i; --i)
55         ifac[i] = ifac[i + 1] * 1LL * (i + 1) % M;
56 
57     for (int i = 0; i < 6; ++i)
58         scanf("%d", X + i);
59     for (int i = 0; i < 6; ++i)
60         scanf("%d", Y + i);
61 
62     ans = 0;
63     for (int i = X[2]; i <= X[3]; ++i) {
64         (ans += 1LL * (M - (i + Y[2])) * numPath0(i, Y[2] - 1) % M * numPath1(i, Y[2]) % M) %= M;
65         (ans += 1LL * (i + Y[3] + 1) * numPath0(i, Y[3]) % M * numPath1(i, Y[3] + 1) % M) %= M;
66     }
67     for (int i = Y[2]; i <= Y[3]; ++i) {
68         (ans += 1LL * (M - (i + X[2])) * numPath0(X[2] - 1, i) % M * numPath1(X[2], i) % M) %= M;
69         (ans += 1LL * (i + X[3] + 1) * numPath0(X[3], i) % M * numPath1(X[3] + 1, i) % M) %= M;
70     }
71     printf("%lld\n", ans);
72 
73     return 0;
74 }

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