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題解

這道題剛開始以為是線性篩

但是有一種更優的算法

考慮因子中有因子i的數的數量

 1 //考慮有多少個數是以i為因子的
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 using namespace std;
 4 int n,ans;
 5 int main(){
 6     scanf("
 
%d",&n);
 7     for (int i=1;i<=n;i++)
 8         ans+=n/i;
 9     printf("%d\n",ans);
10     return 0;
11 }

這個代碼灰常短，也挺好理解的

Solution2：

但是如果想不到怎麽辦

那就只好強上線性篩了

這裏先說一下

num[i]表示i的因子個數，Min[i]表示i的最小質因子的次數

我們可以通過約數個數定理來求一個數的因子個數

傳送門：https://baike.so.com/doc/5806281-6019081.html

不難發現一個質數的因子個數為2（1和它本身），最小質因子的次數為1

我們在篩質數的時候判斷一下prime[j]是否為i的最小質因子

如果是

num[i*prime[j]]等於num[i]/(Min[i]+1)*(Min[i]+2)

Min[i*prime[j]]等於Min[i]+1 //最小質因子次數+1

如果不是

num[i*prime[j]]就等於num[i]*num[prime[j]] //符合積性函數

Min[i*prime[j]]等於1 //i*prime[j]的最小質因子為prime[j]且只有1次

 1 //線性篩
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define N 1000005
 4 using
 
 namespace std;
 5 int n,ans,cnt;
 6 int prime[N],num[N],Min[N];
 7 bool flag[N];
 8 int main(){
 9     scanf("%d",&n);
10     num[1]=1;
11     for (int i=2;i<=n;i++){
12         if (!flag[i]){
13             prime[++cnt]=i;
14             num[i]=2;
15             Min[i]=1;
16         }
17         for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
18             flag[i*prime[j]]=true;
19             if (!(i%prime[j])){
20                 num[i*prime[j]]=num[i]/(Min[i]+1)*(Min[i]+2);
21                 Min[i*prime[j]]=Min[i]+1;
22                 break;
23             }
24             num[i*prime[j]]=num[i]*num[prime[j]];
25             Min[i*prime[j]]=1;
26         }
27     }
28     for (int i=1;i<=n;i++)
29         ans+=num[i];
30     printf("%d\n",ans);
31     return 0;
32 } 

BZOJ-1968-[Ahoi2005]COMMON 約數研究