【題目】C. Qualification Rounds

【題意】給定n個問題和K個人，給定每個人知道的問題列表，求能否找到一個非空問題集合，滿足每個人知道的集合中問題數量都不超過集合總題數的一半。n<=10^5,k<=4。

【算法】數學結論

【題解】當k<=4時，結論：若存在合法方案，則一定存在選擇2個問題的合法方案。

證明：對於選擇偶數個問題的合法方案（奇數不優），假設方案中每個人都知道一半問題（最壞），試圖從中得到選擇2個問題的合法方案。

先得到三條易證的結論：

Ⅰ兩個人知道區間互補，則找不到問題滿足這兩個人都不知道。

Ⅱ否則，至少存在一個問題滿足這兩個人都不知道。

Ⅲ多個人知道區間一致，則至少存在一個問題滿足這多個人都不知道。

①若不存在Ⅰ，則把4個人分成2組，每組內由Ⅱ可得1個問題。如果2個問題一致說明這兩人對應那兩人區間分別一致，由Ⅲ可知交換搭檔即可。

②若存在Ⅰ，則把互補分到不同組。若一個人和另外三個人都互補，另外三個人由Ⅲ得到1個問題，一個人再得到1個問題。

得證。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int read(){
    
 
char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c==‘-‘)t=-1;
    do{s=s*10+c-‘0‘;}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
/*------------------------------------------------------------*/
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,kind,a[100010];
bool c[10000];

int main(){
    n=read();kind=read();
    for(int
 
 i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=kind;j++)a[i]=(a[i]<<1)+read();
        c[a[i]]=1;
    }
    if(c[0]){printf("YES");return 0;}
    for(int i=1;i<(1<<kind);i++)if(c[i]){
        int x=i^((1<<kind)-1);
        for(int j=1;j<(1<<kind);j++)if(c[j]&&(x&j)==j){printf("YES");return 0;}
    }
    printf("NO");
    return 0;
}

【Codeforces】868C. Qualification Rounds