【題目】B. Ant Man

【題意】給定n個人的xi,ai,bi,ci,di，起點為s，終點為e，移動：

In simpler words, jumping from i-th chair to j-th chair takes exactly:

• |xi?-?xj|?+?ci?+?bj seconds if j?<?i.
• |xi?-?xj|?+?di?+?aj seconds otherwise (j?>?i).

求中間經過所有點恰好一次的最小代價。

【算法】動態規劃

【題解】很巧妙的DP狀態設計。（這樣類似哈密頓路徑的問題不能從圖論方面考慮，否則很容易變成NP問題）

將代價拆分到每個點：

向左，起c+x，落b-x

向右，起d-x，落a+x

那麽對於前i個點，有效信息只有這i個點中缺少多少入邊和缺少多少出邊。先無視s（起點）和t（終點），那麽缺入邊數和缺出邊數相等。

令f[i][j]表示前i個點中缺少j條入/出邊的最小代價，缺少入邊的本質是被往左，缺少出邊的本質是往右。

對於f[i-1][j]，有以下四種轉移：

被往右+往右：j>0，f[i][j]=f[i-1][j]+a[i]+d[i]（兩個x[i]抵消）——減少一條出邊，同時增加一條出邊

往左+被往左：j>0，f[i][j]=f[i-1][j]+b[i]+c[i]——減少一條入邊，同時增加一條入邊

被往右+往左：j>0，f[i][j-1]=f[i-1][j]+a[i]+c[i]+2*x[i]——減少一條入邊和一條出邊

往右+被往左：f[i][j+1]=f[i-1][j]+b[i]+d[i]-2*x[i]——增加一條入邊和一條出邊

最終答案為f[n][0]。

接下來解決s和t的問題，實際上s和t才能代表一個完整的點，所以將s當成一個完整的點，不把t看作一個點。

先經過s：會多一條不該有的入邊，所以只要避免第二個和第三個轉移。

先經過t：會少一條該有的入邊，所以只要在j=0時強制進行第二個轉移。

最後在到達n之前和st均有或均無時，不能成環，強制f[i][0]=inf。

復雜度O(n^2)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define
 
 ll long long
using namespace std;
const ll inf=1e16,maxn=5010;
ll f[maxn][maxn];
int n,s,t,x[maxn],a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];
void m(ll &a,ll b){if(a>b)a=b;}
ll solve(){
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    int tot=0;f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++)if(f[i-1][j]<inf){
            int S=j,T=S+tot;
            if(i==s){
                if(T)m(f[i][j],f[i-1][j]+c[i]+x[i]);
                m(f[i][j+1],f[i-1][j]+d[i]-x[i]);
            }
            else if(i==t){
                if(S)m(f[i][j-1],f[i-1][j]+a[i]+x[i]);
                m(f[i][j],f[i-1][j]+b[i]-x[i]);
            }
            else{
                if(S)m(f[i][j],f[i-1][j]+a[i]+d[i]);
                if(T)m(f[i][j],f[i-1][j]+b[i]+c[i]);
                if(S&&T)m(f[i][j-1],f[i-1][j]+a[i]+c[i]+2*x[i]);
                m(f[i][j+1],f[i-1][j]+b[i]+d[i]-2*x[i]);
            }
        }
        if(i==s)tot--;if(i==t)tot++;
        if(i!=n&&tot==0)f[i][0]=inf;
    }
    return f[n][0];
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&s,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
    printf("%lld",solve());
    return 0;
}

PS：我在這場比賽進行Virtual participation的時候，大力貪心出B……然後排名好高啊><。

至今無人能證明但AC了的貪心（似乎有人給反例）：初始s-t，然後考慮一個一個點找最優位置插入。

【CodeForces】704 B. Ant Man