侃一侃編譯原理的“文法”
如果你翹累了代碼，想喝喝咖啡，順便看點兒可以當佐料的文章那本文應該比較適合現在的你。(•??•?)? ??
我們一天天都在和代碼打交道，但是你了解代碼的運行原理麽？為什麽你的一行代碼就能被執行出五花八門的效果嘞？
其實代碼這玩意兒就是一門語言。是的，你可以看成和中文、英文等語言平等的存在。是語言就得有語言的解析規則，不懂得規則自然無法理解語言的意思。就跟看沒字幕的美劇一樣，真是痛苦。╮(╯﹏╰)╭
中文有中文的語義、語法、句子、句法、文法，那麽編程語言也有自己的語言系統。
我們知道，我們寫的代碼被編譯器或者解釋器所執行，那它們是按照什麽文法來理解你的代碼呢？這就是文法。
本文也不會深入去解析文法，不然可以直接轉語言學了（笑~）。本文只是簡單介紹文法的一些概念。如果您喝著咖啡，看完之後，能有些許收獲，微微一笑，那本文的目的也就達到了。^_^
工欲善其事必先利其器。在談文法之前，我們先介紹幾個概念。
一.文法涉及的幾個簡單概念
假設Σ是一個有限的字母表集合，它的每一元素都是一個符號。Σ上的一個符號串就是指由Σ中的符號組成的一個有限序列。如果一個符號串不包含任何符號，就叫它空串，記為ε。現在再定義一個集合U和V的連接積的概念：
UV = {αβ | α∈U,β∈V}
比如A = {a,b}，B = {1,2}，則AB={a1,a2,b1,b2}。很簡單的概念，是不是？
那麽相信你也能知道V1，V2等的冪的概念了。
還有幾個：
ok，定義結束，現在來談談咱們本次的主角——文法。一個比較拗口的定義，
文法是描述語言的語法結構的形式規則（即語法規則）。
這啥意思啊？可能你一臉黑人問號……
其實，就是指怎麽由一堆符號組成一個有含義的句子的規則和協議。
所謂的上下文無關文法就是文法的一種，它所定義的語法單位是完全上下文無關的。比如我們在程序語言 中，碰到一個算數表達式時，我們完全可以對它“就事論事”，不用去考慮它上下有啥東西
所以說，上下文無關文法不能用來描述自然語言，但是對於當今的程序語言來說，上下文無關文法基本夠用了。下文中的“文法”，如果沒有特殊說明，都是之指“上下文無關文法”。
下面類比自然語言的具體例子，談談我們今天要說的文法。
一個英文句子：
He gave me a book.
這個句子滿足英語的語法規則，是一個語法正確的句子。如果我們用“→”表示“由...組成”或者“定義為”，按照我們中學的語法，可以分解一下這個句子：
這樣，通過這樣的一個個規則（又叫“產生式”），就把一個句子分解到了單詞的層次。或者這麽說，有了這些規則，我們可以這麽幹：
我們可以畫一個更形象的圖（語法分析樹）來說明這種推導。
上面定義英文句子的規則就可以說是一個上下文無關文法。其中，<句子>被稱為開始符號，<主語><謂語><代詞>之類的被稱為非終結符號，He、gave之類的被稱為終結符號。
歸納起來，一個上下文無關文法G包括四個部分：終結符號，非終結符號，開始符號，產生式。
終結符號就是一門語言中最基本的符號。在程序語言中，基本字、標識符、常數、運算符號等都算終結符號。
非終結符號更像一個抽象的集合，比如“算數表達式”、“賦值句”都可以看做非終結符號。
產生式就是推導規則。
下面上精確定義：
二.遞歸定義的例子
有時候，只用一個產生式是不足以定義一個語法單位的，需要幾個產生式的相互配合。有時候會需要遞歸的形式。舉個栗子：
假設要定義一類含有+、*的算術表達式，這個定義可以這麽說：
- 變量是一個算術表達式；
- 如果E1和E2是算術表達式，那麽E1+E2、E1*E2、（E1）也是算術表達式。
我們用產生式的形式描述它：
- E→i
- E→E+E
- E→E*E
- E→(E)
其中 E 代表算術表達式， i 代表變量。這四個產生式的全體才定義了什麽是“算術表達式”。後三個都是遞歸的形式。
還可以簡化為：E→i | E+E | E*E | (E)。其中的“|”代表“或”，是一種元語言符號。
三.文法與語言的推導
假設G是一個文法，S是開始符號，如果S經過零步或者若幹步推出α，那麽稱α是一個句型。只包含終結符號的句型是一個句子。文法G產生的所有句子構成一門語言，記為L（G）。
那麽怎麽從文法推導出它代表的語言嘞？
為了方便，我們引入一些符號。
方法：把產生式看成替換規則，把當前符號串中的非終結符號用其產生式右邊的符號來替換。
再看有文法G2->語言L（G2）例子。
推導過程如下：
語言L（G2）-> G2 的例子。
由上面的兩個例子我們可以知道，一個文法可以唯一確定一個語言，但是一個語言不一定唯一對應一個文法。
四.語法分析樹與二義性
我們發現從一個句型到另一個句型的推導過程不是唯一的。例如從E+E->i+i，存在兩個推導過程：
- E+E->E+i->i+i 最右推導，每個推導過程都是從最右邊的非終結符號的替換開始
- E+E->i+E->i+i 最左推導，每個推導過程都是從最左邊的非終結符號的替換開始
當然為了對句子的結構進行一個確定性的分析，我們一般只考慮最左推導或者最右推導。
前面我們提到過用一種樹形的圖示來表示這個句型的推導過程，這棵樹就被稱為”語法分析樹“，簡稱”語法樹“。
比如從E->(i+i) 的過程：
對於一個文法，如果它的某些句子對應兩棵不同的語法樹，這個文法就屬於“二義性文法”。
註意，文法的二義性和我們通常所說的語言的二義性不同，我們可能有兩個不同的文法G1，G2，一個是二義性，一個是非二義性，但是可能L（G1） = L（G2）。對於程序語言來說，我們常常希望它的文法是非二義性的，但是，只要我們能夠控制和駕馭文法的二義性，文法二義性的存在也不一定是壞事。
現在已經證明了，文法二義性是不可判定的。也就是說不存在一個算法，在有限步驟內算出一個文法是不是二義性的。我們能做的事兒，就是找一組充分條件來說明非二義性。比如，規定運算符號的優先級和結合性。
對於我們上面使用的那個文法：E->E+E | (E) | E*E | i
如果限定*的優先級高於+，並且都是左結合的，那麽上述文法就變成了非二義性文法。讀者大大可以試試推導E->(i*i+i)。
侃一侃編譯原理的“文法”