線性動力學變分原理基礎

線彈性動力學的控制方程（位移法，要得到的是位移分量的表達式$u=u(x,y,z,t),v=v(x,y,z,t),w=w(x,y,z,t)$）

運動方程 $\sigma _{ij,j}+\bar{f_i}=\rho \ddot u_i$

應變-位移關系 $\epsilon_{ij}=\frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i})$

應力-應變關系 $\sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon_{kl}$

邊界條件 $\sigma _{ij}n_j=\bar{T_i}$

$u_i=\bar{u_i}$

初始條件 $u_i | _{t=0}=\bar{u}_i^0$

$\dot{u}_i | _{t=0}=\dot{\bar{u}}_i^0$

精確解：在域內任一點任一時刻滿足運動方程，在力邊界上任一點任一時刻滿足力邊界條件，（位移法，位移邊界條件自動滿足）

近似解：加權余量法

加權余量法

近似解不能精確滿足運動方程和力邊界條件，存在余量$R_i(x,y,z,t),\bar{R_i}(x,y,z,t)$

$R_i=\sigma _{ij,j}+\bar{f_i}-\rho \ddot u_i \not=0$

$\bar{R_i}=\sigma _{ij}n_j-\bar{T_i} \not=0$

線性動力學變分原理基礎