• 最優化量是一個泛函時，需要研究所有的輸入函式，找到最大化或者最小化泛函的函式就是變分
• 變分近似的過程：限制需要最優化演算法搜尋的函式的範圍（二次函式，或者，固定基曲線函式的線性組合）

變分推斷

• 符號假設

  1. Z：所有的潛在變數和引數組成的集合
  2. X：所有的觀測變數的集合
  3. 確定了聯合分佈p(X,Z)
  4. 目標：找到後驗概率分佈 p(Z|X), 驗證模型證據p(X) 的近似

• 公式

lnp(X)=L(q)+KL(q||p)
其中
L(q)=∫q(Z)ln{p(X,Z)q(Z)}dZ
KL(q||p)=−∫q(Z)ln{p(Z|X)q(Z)}dZ

• 常規思路：EM演算法
• 新思路
  
  1. 在真實的概率分佈進行操作不可以行的情況下(q(Z))不可操作
  2. 考慮q(Z)的受限類別
  3. 尋找這個類別中，是的KL散度達到最小值的概率分佈

分解概率分佈

• 限制q(Z)的範圍
  q(Z)=∏Mi=1qi(Zi)
  =>平均場論
  
  1. 在所有上述形式的q(Z)中尋找使得下屆 L(q)最大的概率分佈
  2. 將上式帶入 L(q)
  3. 記qj(Zj) 為qj

L(q)=∫∏iqi{lnp(X,Z)−∑ilnqi}dZ

=∫qj{∫lnp(X,Z)∏i≠jqidZi}dZj−∫qjlnqjdZj+常數

=∫qjlnp^(x,Zj)dZj−∫qjlnqjdZj+常數

其中：

lnp^(X,Zj)=Ei≠j[lnp(X,Z)]+常數

Ei≠j[lnp

(X,Z)]=∫lnp(X,Z)∏i≠jqidZi

結論

• 上式中的 ， ∫qj{∫lnp(X,Z)∏i≠jqidZi}dZj−∫qjlnqjdZj+常數 是 qj(Zj)和p^(X,

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